Pregunta: Vamos a $G$ ser un grupo. Para cualquiera de las dos representaciones de $V,V'$$G$$\mathbb C$, vamos a $Hom_G (V,V')$ denotar el espacio de todos los lineales de los mapas de $h: V\rightarrow V'$ tal que $h\rho'_g = \rho_g h\forall g\in G$. Quiero demostrar que si $V$ y V' son irreductible e $V\cong V'$ $Hom_G(V,V')$ 1-dimensional.
Por favor decirme si tengo derecho: Por Schur del lexema, Cualquier elemento $f\in Hom_G(V,V)$ es de la forma $\lambda.Id_V$ donde $\lambda\in \mathbb C$, por lo que dim $Hom_G(V,V) = 1.$ Ahora, vamos a $T:V\rightarrow V'$ ser un isomorfismo, por lo que el $T\rho'_g = \rho_g T$, por lo tanto $T\neq0$, e $T\in Hom_G(V,V')$. Por lo $Hom_G(V,V')\neq0.$ Ahora, para cualquier $h\in Hom_G(V,V')$, tenemos$$V\xrightarrow{h}V'\xrightarrow{T^{-1}}V$$, so that $T^{-1}h\en Hom_G(V,V)$, and hence $T^{-1}h=\alpha.Id_V$ for some $\alpha\in\mathbb C\Rightarrow h=\alpha.T\circ Id_V=\alpha T$. Hence any element in $Hom_G(V,V')$ is a scalar multiple of $T$, and so dim $Hom_G(V,V')=1$.
