Estoy buscando un poco de lectura en cuando los coeficientes binomiales son iguales a $p^2$ $p$ de una prima. En general me imagino que esto es raro, ya que simplemente hay demasiados factores. Concretamente, estoy buscando pares $(n, k)$ tal que ${n + k - 1 \choose k} = p^2$.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Para la igualdad $$ {m\elegir k}=p^2 $$ a la espera de un primer $p$, se debe, obviamente, tienen $2p\le m$. De lo contrario, $m!$ no será divisible por $p^2$, por lo que tampoco lo hará el coeficiente binomial.
Afirmo que esto implica $k=1$.
Sin pérdida de generalidad podemos suponer que $k\le m/2$. Si $2<k\le m/2$, luego $$ {m\elegir k}\ge {m\elegir 3}=\frac{m(m-1)(m-2)}6, $$ que es mayor que $m^2/4\ge p^2$ siempre $m\ge6$. Esto significa que debemos tener $k=1$ o $k=2$ o $m<6$. La última posibilidad no nos concierne - la fuerza bruta de verificación indica en pocos segundos y que no hay contraejemplos.
Así que tenemos que echar un vistazo en el caso de $k=2$. Pero $$ {m\choose2}=\frac{m(m-1)}2. $$ Aquí $m$ $m-1$ no tienen factores comunes, por lo que de $m(m-1)=2p^2$ obtenemos que o $m-1=2, m=p^2$ o $m-1=p, m=2p$ y ambas son imposibles. El reclamo sigue de esto.
Obviamente, usted puede organizar ${m\choose 1}=m$ a ser cualquier cosa que desee.
Pawel
Puntos
28
No triviales pares de existir. Según el resumen de este documento, $\binom{n}{s}$ tiene, al menos, como muchos de los distintos factores primos como $n$. Si deseamos $\binom{n}{s}=p^2$, se deduce que el $n$ debe ser una fuente primaria de energía. Si $n=q^e$ para algunos prime $q$,$q|\binom{n}{s}$, de modo que $q=p$, e $n=p^e$$e\ge 2$.
Tenemos la solución a $e=2$ $s=1$ o $s=p^2-1$. Si $e\ge 3$, se sigue que:
$$\binom{p^e}{s}\ge p^e>p^2$$
si excluimos $s=0,p^e$. De ello se sigue que no hay soluciones para $e\ge 3$.
