Considere dos funciones enteras sin ceros y con una proporción igual a la unidad en el infinito. Utiliza el Teorema de Liouville para mostrar que son de hecho la misma función.
Mi intento Considere $h(z) = f(z)/g(z)$ . En primer lugar, $h$ está completo, ya que $f$ y $g$ están enteros, y $g(z)$ es no cero para todos $z$ en $ \mathbb {C}$ .
El hecho de que $ \lim_ {z→ \infty } h(z) = \lim_ {z→ \infty } f(z)/g(z) = 1$ sugiere que $h(z)$ también está limitado.
¿Por qué? $ \lim_ {z→ \infty } f(z)/g(z) = 1$ existe $N > 0$ de tal manera que $|f(z)/g(z) - 1| < 1$ para todos $|z| > N$ . (Nota que estoy tomando $ \epsilon = 1$ para la concreción.)
Entonces.., $|f(z)/g(z) - 1| \geq ||f(z)/g(z)| - 1|$ $ \implies ||f(z)/g(z)| - 1| < 1$ $ \implies |f(z)/g(z)| - 1 < 1$ o $1 - |f(z)/g(z)| < 1$ $ \implies 0 < |f(z)/g(z)| < 2$ .
Eso es, $|f(z)/g(z)|$ está delimitada arriba por $2$ para $|z| > N$ . Además, sabemos que $|f(z)/g(z)|$ tiene un máximo $M$ en $|z| \leq N$ por el principio de módulo máximo (o simplemente de $|z| \leq N$ siendo compacta). Por lo tanto, $|f(z)/g(z)|$ está delimitada arriba por $ \max \{2, M\}$ para todas las z en $ \mathbb {C}$ .
Por lo tanto, $h(z)$ es constante según el Teorema de Liouville, es decir. $h(z) = f(z)/g(z) = c$ por alguna constante $c$ .
Ya que esto es cierto para todos $z$ en $ \mathbb {C}$ tomando el límite como $z \to \infty $ rendimientos $c = 1$ . Por lo tanto $f(z) = g(z)$ para todos $z$ en $ \mathbb {C}$ .
¿Es correcto mi trabajo?
