¿Dos topologías sobre el mismo conjunto que se transmiten entre sí mediante un isomorfismo reticular inducen espacios homeomórficos?

Question

Esta es una pregunta que me he estado girando en mi cabeza y no he sido capaz de venir para arriba con una manera de proceder para demostrarla o la construcción de un contra-ejemplo:

Deje $X$ a un y $\mathfrak{T}_X$ el conjunto de todas las topologías más $X$. $\mathfrak{T}_X$ forma un completo entramado cuando es ordenado por inclusión $\subseteq$. Deje $f$ ser un automorphism de $\mathfrak{T}_X$ (como en un completo entramado isomorfismo). De lo anterior se sigue que para cualquier topología $\mathcal{T}$ $X$ que $(X,\mathcal{T})$ $(X,f(\mathcal{T}))$ son homeomórficos espacios topológicos?

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He añadido la Categoría de la Teoría de la etiqueta, como me siento como alguien con más precisión podría ser capaz de convertir esto en una pregunta acerca de un sistema dirigido en una categoría de pequeña y una endo-functor que conserva todos los límites.

Answer 1

Automorfismos de la celosía $L={\mathfrak T}(X)$ de topologías en conjunto arbitrario $X$ se clasifican de la siguiente manera (ver aquí):

1. Si $X$ es infinito o tiene cardinalidad $\le 2$, entonces cada automorphism $\phi$ $L$ es inducida por un bijection $f_\phi: X\to X$. En particular, obtenemos un natural homeomorphism de los espacios topológicos $$ f: (X,\tau)\a (X, \phi(\tau)), \tau\in {\mathfrak T}(X). $$

2. Si $X$ tiene cardinalidad finita $\ge 3$, $Aut(L)$ es el producto directo de su subgrupo inducida por bijections $X\to X$ anterior, y de la orden de 2 $Z_2$ cuyo generador es inducida por la automorphism $\theta\in Aut(L)$ intercambio de subconjuntos de a $X$ y sus complementos. El último automorphism (y su composición con un automorphism inducida por un bijection), por supuesto, no va a provocar un homeomorphism $(X,\tau)\to (X, \theta(\tau))$ general $\tau$.

Edit. Como un ejemplo específico, tomar cualquier conjunto finito $X$ de cardinalidad $\ge 3$ y su topología $\tau=\{\emptyset, \{x\}, X\}$ donde $x$ es un cierto elemento de $X$. A continuación,$\theta(\tau)= \{\emptyset, X\setminus \{x\}, X\}$. Está claro que $(X,\tau)$ $(X, \theta(\tau))$ no homeomórficos.

Véase también un agradable (aunque la fecha) de la encuesta de las propiedades de la rejilla $L$.