Vamos a un alambre de ser ajustado de acuerdo a algunos incluso, de la función $y=f(x)$,$f'(0)=0$$f''(0)>0$, y dejar que una gota de escaso tamaño de la diapositiva sin fricciones en el cable. Deje que el cordón de oscilar bajo la influencia de la gravedad sobre la $x=0$ con amplitud $A$ (es decir, entre el$x=-A$$x=+A$) y frecuencia $\omega(A)$. Claramente $\omega$ es casi constante para los pequeños $A$; difiere de la frecuencia de $\omega_o$ movimiento armónico simple a la mayoría de los $O(A^2)$. Eligiendo $f$ a ser el cuarto polinomiales de orden, podríamos presumiblemente ajuste el cable de la forma con el fin de eliminar los errores de la orden de $A^2$ y hacer $\omega(A)$ constante a a $O(A^4)$. Posiblemente podríamos continuar este proceso de aproximación y hacer todos los derivados $d^n\omega/dA^n$ desvanecen hasta algunos finito $n$, o tal vez para todos los $n$.
Si los derivados que se pueden hacer desaparecer para todos los $n$, entonces creo que $\omega$ tendría que ser nonanalytic en $x=0$. Parece imposible que exista alguna $f$ tal que isochrony tiene por arbitrariamente grande,$A$. No importa que tan pronunciada que hacer los lados, el cordón no se puede hacer nada mejor que la aceleración hacia abajo con una aceleración $g$. Por lo tanto creo que la mejor $f$ usted puede encontrar es probablemente una de las que sopla hasta el infinito en $|x|$ lo que equivale a unos $x_{max}$. En dimensiones motivos, tendríamos que tener $x_{max}=cL$ donde $c$ es una radio sin unidades de la constante y $L=g/\omega_0^2$.
Así que mi multipart pregunta es: (1) existe una función de $f$ que da $d^n\omega/dA^n=0$ todos los $n$? Si es así, ... (2) ¿Cómo es $f$ caracteriza, y lo que es $c$? (3) Es $\omega(A)$ analítica en $x=0$, y si es así, ¿cuál es su radio de convergencia de su serie de Taylor en unidades de $L$?
