Si $T^2$ es un operador compacto en un espacio de Banach entonces es $T$ ¿también compacto?

Question

Si $T^2$ es un operador compacto en un espacio de Banach $X$ entonces es cierto que $T$ ¿es también un operador compacto en X?

Aquí $T:X\to X.$

Lo primero que trataba de demostrar (suponiendo que sea cierto). Ya que $X$ es Banach el conjunto de todos los operadores compactos es cerrado en $\beta(X;X)$ ( $\beta(X;X)$ es el conjunto de todos los operadores acotados en X). Así que estaba tratando de encontrar una secuencia $\{T_n\}$ en $\beta_0(X;X)$ (el conjunto de todos los operadores compactos sobre $X$ ) que convergería a $T$ . Entonces, utilizando la condición dada de que $T^2\in\beta_0(X;X)$ podríamos decir que $T\in \beta(X;X)$ .

Así que el punto principal es encontrar una secuencia adecuada $\{T_n\}$ de $\beta_0(X;X)$ que convergerá en $T.$

Por favor, que alguien me ayude . ¿Podemos encontrar dicha secuencia o la afirmación es falsa?

Gracias

Answer 1

No es cierto. Por ejemplo $T\colon\ell^\infty\longrightarrow\ell^\infty$ definido por $$T(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,\ldots)=(a_2,0,a_4,0,a_6,0,\ldots).$$ Entonces $T$ no es compacto (con respecto al $\|\cdot\|_\infty$ norma), pero $T^2=0$ que, por supuesto, es compacto.