Posibles generalizaciones del teorema de Heine-Borel

Question

Soy bastante nuevo en topología general, así que pido disculpas si esta pregunta es trivial. El famoso teorema de Heine-Borel afirma que en $\mathbb{R}^n$ un conjunto es compacto si y sólo si es cerrado y acotado. Está claro que este resultado no se aplica a todos los espacios métricos (los no completos son los ejemplos habituales). Hay otro teorema que afirma que un espacio métrico es compacto si y sólo si es completo y totalmente acotado. Tengo un par de preguntas sobre esto.

1) Como el segundo teorema requiere la completitud y total acotado, ¿podría mostrarme un ejemplo de un espacio métrico acotado, completo, pero no compacto?

2) En segundo lugar, (una pregunta más suave), qué tipos de espacios satisfacen lo que llamaré la "propiedad de Heine-Borel" (es decir, sus subespacios son compactos si y sólo si son cerrados y acotados). ¿Es $\mathbb{R}^n$ ¿el único ejemplo de un espacio así? Si no es así, ¿qué otras cosas podemos decir sobre esa clase de espacios?

Answer 1

Para $(1)$ Consideremos la métrica discreta (todos los puntos distintos están a una distancia $1$ aparte) en cualquier conjunto infinito. Este es (trivialmente) completo y acotado, pero no compacto.

Para $(2)$ son equivalentes para un espacio métrico $X$ :

• $X$ tiene la propiedad Heine-Borel.

• Para cada punto $x\in X$ toda bola cerrada de radio finito centrada en $x$ es compacto.

• Para algunos punto $x\in X$ toda bola cerrada de radio finito centrada en $x$ es compacto.

Las implicaciones $1\rightarrow 2\rightarrow 3$ son inmediatas; la interesante es $3\rightarrow 1$ . Supongamos que $a\in X$ tiene la propiedad de que toda bola cerrada de radio finito centrada en $a$ es compacto, y dejemos que $S\subseteq X$ sea cerrado y acotado; queremos demostrar que $S$ es compacto. Sea $r=\sup\{d(a, v): v\in S\}$ Entonces $S$ es un subconjunto cerrado de la bola cerrada centrada en $a$ de radio $r+1$ . Pero cualquier subconjunto cerrado de un conjunto compacto es compacto, y esa bola cerrada es compacta por la suposición de $a$ .

Nótese que esto nos dice que todo espacio con la propiedad Heine-Borel es $\sigma$ -compacto, es decir, la unión de un número contable de subconjuntos compactos. Lo contrario es falso: cualquier espacio métrico discreto contablemente infinito es trivialmente $\sigma$ -compacto, pero no tiene la propiedad de Heine-Borel (ya que es cerrado en sí mismo, acotado, pero no compacto).