¿Se puede resolver una partícula en el potencial 3D$$V(r)=-1/r^{2}$ $ exactamente? ¿También explícame la importancia física de este potencial en comparación con el potencial de culombio? Ese problema fue hablar sobre el potencial repulsivo positivo y lo que estoy buscando es un potencial atractivo.
Respuestas
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Stefano
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Uno puede mostrar que un atractivo$V(r)=-k/r^2$ en$d=3$ de dimensiones espaciales tiene dos alternativas (dependiendo de la constante de proporcionalidad$k$):
O no hay estados vinculados en absoluto.
O el espectro no tiene límites desde abajo, es decir, el sistema es inestable.
El análisis es muy similar a lo que ocurre con el átomo de hidrógeno en$d=4$ de dimensiones espaciales, cf. por ejemplo, esta publicación Phys.SE.
JamalS
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Este es el Calogero potencial. Parece que, al menos físicamente razonable. Nota la desigualdad,
$$\int_{\mathbb R^3} \frac{1}{4r^2}|\psi(x)|^2 \mathrm d^3x \leq \int_{\mathbb R^3}|\nabla\psi(x)|^2 \mathrm d^3x$$
que vale para cualquier $\psi \in C^\infty_0(\mathbb R^3)$. Con un potencial de $V=cr^{-2}$ el Hamiltoniano es algo como $H = -\nabla^2 + cr^{-2}$ y tenemos que,
$$\langle H \rangle = \int_{\mathbb R^3} \bar \psi(x)\left(-\nabla^2 + cr^{-2}\right)\psi(x)\, \mathrm d^3x = \int_{\mathbb R^3} |\nabla \psi(x)|^2 + cr^{-2}|\psi(x)|^2 \mathrm d^3x.$$
Para una adecuada elegido potencial, es decir, con $-c \leq \frac14$,$\langle H \rangle \geq 0$, o en palabras, nos está garantizado para tener el Hamiltoniano delimitada desde abajo, que es físicamente razonable. Esto también nos permite tener alguna opción de auto-adjunto de extensión, a través de la Friedrichs extensión.
Espectro
Para $c \geq \frac34$, existe solamente un uno mismo-adjoint de Hamilton, cuyo espectro es $\mathbb R_+$. La normalizado generalizada funciones propias son,
$$u_{1,E}(x) = \sqrt{\frac{x}{2}} J_\varkappa(\sqrt{E}x)$$
para $E \geq 0$ y una particular función de Bessel, $J_\varkappa$.
Para $-\frac14 < c < \frac34$, no es un parámetro de $U(1)$-de la familia de sí mismo-adjoint Hamiltonianos. La normalizado funciones propias son,
$$u_{2,\lambda,E}(x) = \sqrt{\frac{1}{x}}\frac{J_\varkappa(\sqrt E x) + \gamma\sqrt{x} J_{-\varkappa}(\sqrt E x)}{\sqrt{1+2\gamma \cos\pi\varkappa} + \gamma^2}$$
donde $\gamma = \lambda \frac{\Gamma(1-\varkappa)}{\Gamma(1+\varkappa)}(E/4k^2_0)^\varkappa$. Para $\lambda \geq 0$ tenemos el mismo espectro, pero por la negativa $\lambda$, se tiene,
$$\mathrm{spec} \, H_{2,\lambda} = \left\{-4k^2_0 \bigg\rvert \lambda \frac{\Gamma(1-\varkappa)}{\Gamma(1+\varkappa)}\bigg\rvert^{-1/\varkappa} \right\} \cup [0,\infty)$$
que tiene un estado asociado. Usted puede encontrar más en la Auto-adjunto extensiones y análisis espectral en Calogero problema que es el más autónomo, de tratamiento completo que he podido encontrar; el otro de los casos son tratados, así como otros aspectos del problema.
