¿Cómo se resuelve $x^2-4x=y^2-4y$ sin saber la respuesta de antemano?

Question

La ecuación es $x^2-4x=y^2-4y$ en el caso donde $x\ne y$. La respuesta es $x+y=4$.

Puedo empezar desde $x+y=4$ y crear muy fácilmente la ecuación, y puedo sustituir $x+4=y$ en la ecuación y mostrar que ambos lados son iguales fácilmente. ¿No entiendo cómo me encontraría la respuesta si no lo sabía antes de la mano, y todo lo que tenía era la ecuación? ¿Algún consejo?

Answer 1

$$\begin{align} x^2 - 4x &= y^2 - 4y \\ x^2 - y^2 &= 4x - 4y \\ (x-y)(x+y) &= 4(x-y) \\ x+y &= 4\end {Alinee el} $$ donde dividiendo por $x-y$ se permite desde $x \neq y$.

Answer 2

Como alternativa, la solución que me llamó la atención primero fue completando el cuadrado en $x$ y $y$. Esto es común cuando se trata con cuadráticas, especialmente una vez que haya no $xy$ Cruz-términos. $$ x^2 - 4x = y^2 - 4y $ $ $$ x^2 - 4x + 4 = y^2 - 4y + 4 $ $ $ %#% De #% esto quiere decir que sea $$ (x-2)^2 = (y-2)^2 $ o $x-2 = y-2$, que significa o $x-2 = -(y-2)$ o $x = y$, como se desee.

Answer 3

Que $c$ es el valor común de $x^2-4x$ y $y^2-4y$. Entonces $x$ y $y$ son dos raíces del polinomio $t^2-4t-c$. Ya que estamos suponiendo $x$ $y$ son distintas, son todas las raíces, factores de #% lo $t^2-4t-c$% #%. Puesto que $(t-x)(t-y)$ se expande a $(t-x)(t-y)$, comparando los coeficientes de $t^2-(x+y)t+xy$ da $t$.

(Por el contrario, si $x+y=4$, luego desde $x+y=4$ y $x$ son dos raíces de $y$, $(t-x)(t-y)=t^2-(x+y)t+xy=t^2-4t+xy$ y $x^2-4x$ son igual a $y^2-4y$.)

Answer 4

Escriba $x+y=d$. Entonces tenemos $y=d-x$ y así: $$(d-x)^2-4(d-x) = x^2-4x$ $ así $$d^2-2dx-4d =-8x$$thus $$d(d-2x)-4(d-2x)=0$ $ así %#% $ de #% si $$(d-2x)(d-4)=0$ $d=2x$ que es imposible conseguir. Así $x=y$ y tenemos $d=4$.