Forma de Kähler en la explosión de un múltiple de Kähler

Question

Dado un Kähler colector $X$, el golpe es un Kähler colector aswell (ver teoría de Hodge y CAG por Voision Prop. 3.24). La idea es, por supuesto, utilizar el pull-back a la Kähler forma $\pi^*\omega_X$. Se dice que esta forma es no positivo, pero sólo semi-positiva y no veo por qué exactamente.

La positividad de $\omega_x$ significa que a nivel local se puede escribir $\omega_x= \sum_i \alpha_i dz_i\wedge d\bar z_i$ $\alpha_i$ reales y no negativos. Ahora $\pi^*\omega_X= \sum_i (\alpha_i\circ\pi) d(z_i\circ\pi)\wedge d(\bar z_i\circ\pi)$. Obviamente los coeficientes $(\alpha_i\circ\pi)$ sigue siendo positivo, así que de alguna manera las formas diferenciales $ d(z_i\circ\pi)\wedge d(\bar z_i\circ\pi)$ debe desaparecer en algunos especiales tangente vectores en un barrio que rodea el golpe?

No estoy seguro de que, si mi concepto de positividad es correcto o apropiado aquí.

Answer 1

Que $\widetilde X$ ser la voladura de $X$, y que $\pi\colon \widetilde X\to X$ denotan el mapa de purga. Si el % de coordenadas locales $(z_i)$es elegido así que $z=0$ es el punto de saltar, entonces $D = \pi^{-1}(0)\subseteq \widetilde X$ es una hipersuperficie complejo llamado el divisor excepcional. Porque $z_i\circ\pi\equiv 0$, se deduce que $d(z_i\circ \pi)$ aniquila cada tangente del vector a $D$, y lo mismo pasa con $d(\bar z_i\circ\pi)$.