Suma de recíprocos enteros

Question

El siguiente problema da como resultado una cúbica, pero ¿hay alguna forma de simplificarlo más fácilmente?

La suma de los recíprocos de tres enteros consecutivos es 47/60. ¿Cuál es la suma de estos enteros?

Terminé con $47{ x }^{ 3 }-180{ x }^{ 2 }-47x+60 =0$ . Sin embargo, a diferencia de otros métodos en los que he aprendido a "dejar ${ x }^{ 2 }$ = k, $\therefore { x }^{ 4 }={ k }^{ 2 }$ ", ${x}^{3}$ no es múltiplo de 2, por lo que no puedo aplicar este mismo método. ¿Cómo debo proceder? (Aparte de la simple sustitución, que las respuestas de este & este sitio web).

Answer 1

Puedes hacer un poco de prueba y error. Si los sumandos son $1/n, 1/(n + 1)$ y $1/(n + 2)$ Entonces deberíamos tener

$$\frac 1 {n + 1} \approx \frac 1 3 \cdot \frac{47}{60} \approx \frac 1 4$$

porque $1/(n + 1)$ se acerca razonablemente a la media de los tres recíprocos. Y resulta que

$$\frac 1 3 + \frac 1 4 + \frac 1 5 = \frac{47}{60}.$$

Answer 2

Tenemos $$\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}=\frac{47}{60}$$ esta ecuación equivale a $${\frac { \left( n-3 \right) \left( 47\,{n}^{2}+102\,n+40 \right) }{ 60\,n \left( n+1 \right) \left( n+2 \right) }} =0$$ ¿puedes terminar ahora?

Answer 3

Esta respuesta se basa en la simetría y en una suposición.

Intentamos explotar la simetría y utilizar el enfoque \begin{align*} \color{blue}{\frac{47}{60}}&=\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}\\ &=\frac{n(n+1)+n^2-1+(n-1)n}{n(n^2-1)}\\ &\color{blue}{=\frac{3n^2-1}{n(n^2-1)}} \end{align*}

Veamos con más detalle \begin{align*} \frac{3n^2-1}{n(n^2-1)}=\frac{47}{60} \end{align*}

Esperando una proporción simple, igualamos los numeradores y obtenemos \begin{align*} 3n^2-1=47\quad\Rightarrow\quad 3n^2=48\quad\Rightarrow\quad n\in\{4,-4\} \end{align*}

El denominador $n(n^2-1)$ evaluado en $n=4$ da $4(16-1)=60$ y obtenemos la solución $$\color{blue}{n=4}$$

Nota: Observa, fue la simetría la que nos permitió hacer la suposición afortunada.

Answer 4

El mayor de los recíprocos debe ser al menos $\frac 13 \cdot \frac {47}{60}=\frac {47}{180}\approx \frac 1{3.8}$ , por lo que el más grande tiene que ser $\frac 11, \frac 12,$ o $\frac 13$ . No son muchos los que lo intentan.

Answer 5

Siempre se puede resolver el problema factorizando el polinomio cúbico utilizando los métodos estándar de factorización de polinomios. En este ejemplo concreto, observa que

$$\frac13+\frac14+\frac15=\frac{47}{60}$$