Prueba de oro rectángulo dentro de un icosaedro

Question

Este es un Icosaedro regular con tres de oro rectángulos inscritos en ella. Me doy cuenta de que son rectángulos, me preguntaba si alguien podría demostrar que son de oro rectángulos, suponiendo que todos los bordes son de longitud $s$.

(Yo sé que es verdad de un resultado y de google, pero no estoy seguro de cómo lo muestran.)

Estoy completamente bien con una prueba de su doble, el dodecaedro.

Answer 1

Creo que los lados más largos de los rectángulos coinciden con las diagonales de los pentágonos regulares planares de las aristas del icosaedro, así la proporción solicitada aquí es la relación de la diagonal en un Pentágono regular a su lado; Esto es bien conocido que la proporción áurea.

Answer 2

Asumir $s=1$.

Diamete generalizada es la máxima distancia entre vértices. Considerar dos de ellas, frente a wrt origen $A\left(0,0,\dfrac{5}{\sqrt{50-10 \sqrt{5}}}\right)$ y $B\left(0,0,-\dfrac{5}{\sqrt{50-10 \sqrt{5}}}\right)$

$AB=\sqrt{\dfrac{1}{2} \left(5+\sqrt{5}\right)}$

El lado del rectángulo de oro es entonces

$\sqrt{AB^2-1}=\sqrt{\dfrac{3}{2}+\dfrac{\sqrt{5}}{2}}=\dfrac{1}{2} \left(1+\sqrt{5}\right)$

QED

Espero que esto ayude