¿Cuántas veces tienes ir hacia adelante y hacia atrás para salir de un callejón sin salida?

Question

Aquí una pregunta difícil de contestar para que los amantes de las matemáticas.

Esta pregunta se la pidió originalmente en Física SE, pero me fue sugerido a publicar aquí.( Se puede ver aquí.)

Muchas veces hemos estado en el interior de un vehículo cuando se está en un punto muerto entre dos vehículos estacionados de manera irresponsable, antes y después. O, imaginar una situación como la que se muestra a continuación.

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Usted tiene que poner su paciencia a prueba, mientras mecánicamente haciendo los mismos procedimientos de conducción de nuevo y de nuevo, haciendo que poco progreso. Nunca se sabe por cuánto tiempo tendría que seguir intentando.

Fue un incidente que me hizo muy interesado en saber, el número de ciclos que se requeriría para obtener su vehículo para salir del punto muerto, sin que podrían dañar el vehículo?

Por un ciclo, me refiero a los pasos siguientes.

1. Conducir el vehículo en uno de los extremos;
2. Girando las ruedas a un extremo;
3. Conducir el vehículo a otro extremo y
4. De giro de las ruedas en el otro extremo.

Ahora, va a ser realmente difícil. El uso de todos los parámetros necesarios, se puede obtener una expresión para el número mínimo de ciclos requeridos para salir del estancamiento?

Algunas de las medidas pueden ser tomadas como a continuación.

• La longitud de la distancia entre ejes$=d$
• Longitud del vehículo$=b$
• La longitud de la brecha$=a$
• La amplitud de la brecha$=c$
• Radio de giro$=R_t$
• Ángulo máximo de inclinación de las ruedas de la normal de$=\theta$
• Rueda delantera de la parrilla de separación de$=g$

Para hacer los cálculos más simples, considerar la situación clásica, como se muestra a continuación.

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Aquí, la parte sombreada representa los obstáculos (los otros vehículos estacionados junto con nuestro vehículo).

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La imagen de arriba muestra la posición de las ruedas en la carrocería del vehículo.

Ahora, si la velocidad del vehículo se aproxima a tener un valor constante $v$ durante cada ciclo, podemos encontrar una expresión para el tiempo total necesario para la operación.

Sería interesante saber cuántas veces usted tiene que hacer los ciclos y lo que es más importante, ¿por cuánto tiempo.

Así que, ¿por qué no darle una oportunidad?

Answer 1

Consideremos una versión simplificada de la situación: El coche está aparcado en un callejón entre dos paredes paralelas "$y=0$" e $y=a$" de distancia $a$. Inicialmente, el coche es perpendicular a las paredes (mirando hacia el norte también conocido como el positivo $y$-eje) y toca una pared a su espalda. El objetivo es la unidad de distancia en una dirección paralela a la pared (al oeste aka negativo $x$-eje).

Vamos a asumir que, mientras que la conducción de una curva en (extrema) fija el ángulo de dirección, las ruedas no se mueven hacia los lados. Esto requiere de las cuatro ruedas de los ejes que se intersecan en un único punto de $O$. El coche, simplemente gira alrededor de un eje vertical a través de $O$. En particular, el de popa ruedas (así como cualquier punto de su eje común) sigue un círculo alrededor de $O$ (tenga en cuenta que el primer plano de las ruedas no comparten un eje común y son también titulado por diferentes ángulos). Deje $R$ ser que el radio para el punto medio $M$ de la popa del eje.

Luego de este punto medio de la siguiente arcos de tales círculos de radio $R$, de ida y vuelta, con arcos consecutivos tener curvatura opuesta una tangente común común punto final.

La longitud de cada arco está limitado por el tamaño de la brecha y en qué medida la (girado) forma del coche sobresale cuando el coche se gira un cierto ángulo $\alpha$ contra el principio de dirección.

De esta manera, la ruta de acceso está determinado por una secuencia de ángulos $\alpha_0=0<\alpha_1<\alpha_2<\ldots$ donde $\alpha_k$ denota el ángulo entre la dirección del coche y la dirección original después de $k$ arcos. Mientras nos siga la trayectoria de $M$, las limitaciones que provienen de la forma del coche, que suponemos rectangular. Medido a partir de $M$, vamos a la parte frontal derecha del vértice ser $r$ a la derecha y $b_1$ al frente, y dejar la parte de atrás a la izquierda del vértice ser $r$ a la izquierda y $b_0$ a la parte de atrás (por lo que la anchura del coche es $2r$ y su longitud es de $b_1+b_0$). La única otra característica de que el coche que tenemos es el radio de giro $R$ definido anteriormente. Una obvia es necesario condición con el fin de escapar es que el coche se ajusta el callejón en diagonal (no de Harry Potter de referencia de la intención), es decir, $$(2r)^2+(b_0+b_1)^2<a^2.$$ Siempre que esta desigualdad es casi sharp, el número total de ciclos será muy alta y muy sensible a la entrada.

Con la configuración anterior, el $y$-coordinar de $M$ después $k$ arcos $$y_k=\begin{cases}r\sin\alpha_k+b_0\cos\alpha_k&\text{if }k\text{ is even},\\ a-r\sin\alpha_k-b_1\cos\alpha_k&\text{if }k\text{ is odd} \end{casos} $$ El $y$-coordenadas del centro de los puntos de los dos arcos de tocar en ese punto son consecuencia de $$ y_k\pm R\sin\alpha_k.$$ El algoritmo para escapar, a continuación, se ejecuta de la siguiente manera (y nos permite contar el número de ciclos, mientras que se ejecute):

• Conjunto $u=y=b_0$, $\alpha=0$
• Encontrar el más pequeño de positivos $t$ tal que $$u+R\sin(\alpha+t)=a-r\sin(\alpha+t)-b_1\cos(\alpha+t)$$ (Si no existe ninguna solución, se nos han escapado)
• Set$\alpha=\alpha+t$,$y=u+R\sin\alpha$, $u=y+R\sin\alpha$
• Encontrar el más pequeño de positivos $t$ tal que $$u-R\sin(\alpha+t)=r\sin(\alpha+t)+b_0\cos(\alpha+t)$$ (Si no existe ninguna solución, se nos han escapado)
• Set$\alpha=\alpha+t$,$y=u-R\sin\alpha$, $u=y-R\sin\alpha$
• Volver al paso 2

Tenga en cuenta que las ecuaciones en $\sin(\alpha+t)$ $\cos(\alpha+t)$ puede ser reescrita como ecuaciones cuadráticas en el seno, dicen.