En la relatividad, se puede/debe cada medición se reduce a la medición de un escalar?

Question

Diferentes autores parecen adjuntar diferentes niveles de importancia para el seguimiento de la exacta tensor de valencias de las diferentes magnitudes físicas. En el estricto-Católica-de la escuela-nun campamento, hemos Burke, 1980), que destaca que no siempre tienen una métrica disponible, por lo que puede que no siempre sea posible para subir y bajar los índices. Burke hace firme pronunciamientos, por ejemplo, que la fuerza es un covector (I resume su argumento aquí). En el permisivo extremo del espectro, Rindler 1997 tiene un descargo de responsabilidad a principios del libro que él no quiere preocuparse de distinguir superior e inferior de los índices, y no lo hará hasta más adelante en el libro. A veces se siente un poco tensas para tratar de mantener este tipo de distinciones, en especial de la relatividad, que ni siquiera sabemos cómo formular sin una degenerada métrica. E. g., Burke sostiene que el impulso es realmente un covector, porque se puede conseguir por la diferenciación de la Lagrangiano con respecto a $\dot{x}$. Pero, a continuación, un modo perfectamente natural índice-gimnasia de expresión como $p^i=m v^i$ se convierte en algo malo y travieso.

Me parece que esta muy confuso cuando se trata de más alto rango de los tensores y las preguntas acerca de la forma de un tensor es el que corresponde a las mediciones reales. Las mediciones con los gobernantes de medida $\Delta x^i$, no $\Delta x_i$, que es esencialmente una definición que rompe el contrario perfecta simetría entre los vectores y covectors. Pero para mí, al menos, obtiene mucho más confusa cuando estamos hablando acerca de algo como el estrés, la energía del tensor. Por ejemplo, en esta pregunta, yo estaba trabajando a través de un cálculo en el Marrón de 2012 en la que básicamente le escribe $T^\mu_\nu=\operatorname{diag}(\rho,P,0,0)$ de la tensión tensor de energía de una cuerda colgada en un espacio-tiempo de Schwarzschild. No es obvio para mí que esto se corresponde mejor con las mediciones de la escritura de la misma r.h.s. pero con $T^{\mu\nu}$ o $T_{\mu\nu}$ a la izquierda. Misner 1973, tiene un bonito pequeño resumen de este tipo de cosas en la página. 131, con, por ejemplo, una regla que indica que $T^\mu_\nu v_\mu v^\nu$ es para ser interpretado como la densidad de masa-energía, visto por un observador con cuatro-la velocidad de la $v$. La mayoría, pero no todos, de sus reglas, como este, expresado como escalares. Esto es muy atractivo, porque tenemos identidades como $a^ib_i=a_ib^i$, lo que significa que no tiene absolutamente ninguna diferencia si hablamos de un objeto como $a^i$ o su dual $a_i$, y nunca tenemos para discutir la forma de un tensor coincide con las mediciones, debido a que las mediciones son escalares.

Es este enfoque, de la reducción de cada medición a un escalar, universalmente viable en GR? Es universalmente deseable? Es válido filosóficamente a decir que todas las medidas son en última instancia las mediciones de los escalares?

Un par de ejemplos:

Algunas cantidades como la masa se define como escalares, así que estamos bien.

Masa-energía es $p^i v_i=p_i v^i$ donde $v$ es el vector de velocidad del observador.

En el caso de Matar a un vector, no hay forma de reducirla a un escalar, pero Matar a un vector no es realmente algo que se puede medir directamente, así que tal vez la OK...?

Relaciones como $\nabla_i T^{ij}=0$ $\nabla_i \xi_j+\nabla_j \xi_i=0$ puede ser reducido a escalares, por ejemplo, $v_j\nabla_i T^{ij}=0$, pero no hay ninguna necesidad real de hacerlo, porque estamos diciendo que un tensor es cero, y cero tensor es cero, independientemente de cómo subir o bajar sus índices.

Yo estaría especialmente interesado en las respuestas que explicaba cómo uno debe pensar en ejemplos como el de la cuerda. En el tratamiento de la p. 131 de Misner, que dan a $T_{\mu\nu}=(\rho+P)v_\mu v_\nu+P g_{\mu\nu}$ para un fluido perfecto; esto no es escalar-izada, y de hecho parece contradecir Brown uso de $T^\mu_\nu$.

Actualización

Después de masticar sobre esto con Cristi Stoica y Trimok, creo que he entendido la cuestión acerca de la $T^\mu_\nu$ frente al $T_{\mu\nu}$ mejor. Contrario a lo que he dicho anteriormente, la expresión de $T_{\mu\nu}=(\rho+P)v_\mu v_\nu+P g_{\mu\nu}$ ($-+++$ firma) para un fluido perfecto es realmente escalar-izada, en el sentido de que $\rho$ $P$ no tienen tensor de índices, de manera que son clasificadas como escalares. Esto tiene sentido, porque $\rho$ $P$ se definen por referencia a un determinado marco de referencia, en el marco del resto del líquido. Esto es exactamente análoga a la forma en que se define el escalar en el tiempo apropiado, por referencia para el resto de la estructura de un reloj.

Ahora supongamos que tenemos las coordenadas en el que la métrica es diagonal, por ejemplo, la métrica de Schwarzschild escrito en coordenadas de Schwarzschild. Deje $g_{\mu\nu}=\operatorname{diag}(-A^2,B^2,\ldots)$. Además, vamos a suponer que tenemos algunos fluido perfecto cuyo marco del resto corresponde a cero de coordenadas de la velocidad en estas coordenadas. El vector de velocidad de este marco del resto del es $v^\mu=(A^{-1},0,0,0)$ o, la reducción de un índice, $v_\mu=(-A,0,0,0)$. Basta con conectar a la expresión de $T$, tenemos $T_{00}=A^2\rho$, $T_{11}=B^2P$, $T^0_0=-\rho$, $T^1_1=P$. Así que esta es la justificación para Brown uso de la mezcla-el índice de forma de $T$ -- simplemente pasa a ser uno en el que los factores de $A$ $B$ no aparecen. Pero eso no quiere decir que la mezcla de índice de forma, es el "real". Lo estático de un observador mide realmente es el escalares $\rho$$P$. Del mismo modo, que en realidad no se $\Delta x^0$ o $\Delta x_0$ que un observador mide en un reloj, es el escalar $\Delta s$. Cuando decimos que coordinan las diferencias corresponden a la parte superior del índice de vectores $\Delta x^i$, en realidad estamos haciendo mucho más complicado que la declaración de que no se refiere a una simple medición con un solo dispositivo, sino más bien a algunos mucho más extensa que implican la instalación de agrimensura, giroscopios, y la sincronización de los relojes.

Creo que uno de los problemas aquí es que yo no estaba teniendo en cuenta el hecho de que en una ecuación como $T_{\mu\nu}=\operatorname{diag}(\ldots)$, la mano derecha que evaden el cumplimiento de las normas de índice de gimnasia. Esto hace que sea preferible trabajar con ecuaciones como $T_{\mu\nu}=(\rho+P)v_\mu v_\nu+P g_{\mu\nu}$, donde ambas partes son válidos índice-gimnasia la notación, podemos subir y bajar los índices a voluntad sin tener que preocuparse acerca de la anulación de la ecuación.

Por último, en el ejemplo anterior, supongamos que tenemos una asintóticamente plano espacio-tiempo, y supongo que a grandes distancias que tenemos $A^2\rightarrow 1$$B^2\rightarrow 1$. A continuación, $|T^0_0/T_{00}|=A^{-2}>1$ corresponde a un corrimiento al rojo gravitacional factor visto por un observador en el infinito.

Relacionado: Tipo/Valencia del tensor de tensiones

Referencias

Brown, "Resistencia a la tensión y la Minería de los Agujeros Negros" http://arxiv.org/abs/1207.3342

Burke, El Espacio-Tiempo, La Geometría, La Cosmología, 1980

Misner, Thorne y Wheeler, la Gravitación, 1973

Rindler, Esencial Relatividad, 1997

Answer 1

1. Deje $p\in M$ ser un punto en el colector de $M$. Un tensor de tipo $(r,s)$ $p$ es un elemento del producto tensor entre el $r$ copias de el espacio de la tangente en $p$ $s$ copias de la cotangente del espacio en $p$. Para evaluar el tensor, de conectar los vectores de la estructura y la coframe. Por ejemplo, si el marco es $(e_i)$, e $(e^i)$ es su doble, el componente $T_{i_1,...,i_r,j_1,\ldots\,j_s}$ es evaluado por $$T_{i_1,...,i_r,j_1,\ldots\,j_s}=T(e_{i_1},\ldots,e_{i_r},e^{j_1},\ldots,e^{j_s}),$$ que de hecho es un escalar. Así que, como regla general, para encontrar las componentes de un tensor, encontrar algunos escalares (que dependen de la trama, ya que los componentes dependen de la trama).

begin update

Se ha comentado que el $T_{i_1,...,i_r,j_1,\ldots\,j_s}$ no puede ser un escalar, porque depende del marco. Es cierto que, al cambiar de $(e_i)$, $T_{i_1,...,i_r,j_1,\ldots\,j_s}$ los cambios, y ya me dijo que esta por encima. Pero no hay ninguna contradicción entre eso, y el hecho de que $T_{i_1,...,i_r,j_1,\ldots\,j_s}$ es un escalar. Considere, por simplicidad, que el $T$ es un covector. Si tenemos un contrato con un vector $v$, obtenemos un escalar $T(v)=T_jv^j$. Si expresamos ahora $T$ $v$ en otro marco, se obtiene el mismo escalares $T(v)=T'_j v'^j$ donde $T'_j$ $v'^j$ son los nuevos componentes. Todo el mundo está de acuerdo en que cuando contratamos un covector con un vector obtenemos un escalar. Pero, recordemos que $(e_i)$ también son vectores. Por qué, si vamos a reemplazar el vector $v$ con el vector $e_i$, el resultado no sería un escalar? En este caso obtenemos $T(e_i)=T_je_i{}^j$. Si expresamos ahora en otro marco tanto $T$$e_i$, obtenemos el mismo valor de $T(e_i)=T'_je_i'{}^j$. Por lo $T(e_i)$ es un escalar que depende de los campos vectoriales $(e_i)$. Es el mismo escalar cuando expresamos tanto $T$ $(e_i)$ en otro marco.

end update

2. Hay dos razones principales por las que podemos hacer índice de gimnasia. En primer lugar, porque $g_{ij}$ es no degenerada, su recíproco (inverso) $g^{ij}$ está definida de forma única, y ambas dan isomorphisms entre la tangente y la cotangente paquetes. Con estos isomorphisms, podemos subir y bajar los índices. En segundo lugar, cuando la derivada covariante definido por la de Levi-Civita de conexión está involucrado, $\nabla g=0$. Debido a esto, cuando la aplicación de la Lebniz regla para los tensores, que son contratados con la métrica, el término que contiene a $\nabla g$ se desvanece, por lo tanto el índice de subida y bajada conmuta con covariante derivados.

3. Un tema discutido en la pregunta es si siempre es justificado para identificar los diferentes tensores mediante el índice o la reducción del índice de recaudación de isomorphisms. Al parecer, debido a que el índice de subida y bajada de las operaciones de isomorphisms, lo es. Pero voy a explicar a continuación que esto llevó a problemas de larga data en la relatividad.

La métrica es dinámico, evoluciona en el tiempo, y su evolución está determinada por Einstein del campo de la ecuación. La ecuación de Einstein muestra cómo la curvatura está conectado con el estrés de la energía de la materia (En "asunto" yo también incluyen bosonic campos. Nada de lo que viene con la tensión tensor de energía.). Ahora, no hay ninguna razón por la que esta evolución no llevaría a degenerar métricas. Y, como es conocido por Penrose y Hawking teoremas de singularidad, las singularidades son obtenidos, en muy genérico situaciones.

Las singularidades obtenidos son generalmente visto como una buena razón para renunciar a la Relatividad General, y reemplazarlo con algo más radical. En la mayoría de las veces el "más radical" enfoques son también plagado de singularidades, o cuando no lo están, es porque cambiar la dinámica de las ecuaciones de Einstein).

Las singularidades son inevitables, pero ellos vienen en muchos sabores. En algunos casos, la métrica tiene singular componentes, por ejemplo, para la métrica de Schwarzschild, $g_{tt}=1-\frac {2m}{r}$ es singular en $r=0$. En otros casos, la métrica es degenerado, es decir, $\det g=0$. En este caso, $g_{ij}$ no determina un isomorfismo entre la tangente y la cotangente de los espacios, y no podemos definir $g^{ij}$. Por lo tanto, no podemos elevar los índices. Podemos bajar, pero en este caso se pierde la información. Desde $g^{ij}$ es parte de la definición de los objetos geométricos necesarios en semi-geometría de Riemann (de ahí que en la Relatividad General), tales como la de Levi-Civita de conexión, y la de Riemann, Ricci, y el escalar de curvatura. Por lo tanto, la ecuación de Einstein no tiene sentido.

La solución es simple, pero resultó difícil de implementar. Encontrar una manera de reconstruir todos los semi-geometría de Riemann, sin hacer uso de $g^{ij}$. Sorprendentemente, esto es posible, y de hecho lo estaba en arXiv:1105.0201. Una clase especial de singularidades, denominado semi-regular, ha convertido a nuestro haber suave curvatura de Riemann $R_{ijkl}$. Tenga en cuenta que el $R^i{}_{jkl}$ versión sigue siendo, en general, en singular cuando la métrica es degenerado, porque se obtiene a partir de a $R_{sjkl}$ mediante la contratación de $g^{is}$. El enfoque habitual definir primero $R^i{}_{jkl}$, pero si $g^{ij}$ es singular, sólo se pueden definir $R_{ijkl}$. Otros objetos geométricos se define en la que hacen referencia. Ejemplos más concretos fueron construidos en arXiv:1105.3404.

Este método permite la descripción de las singularidades en términos de nonsingular geométricas invariantes. Por ejemplo, trabajó para encontrar un nonsingular descripción de la FLRW singularidad (arXiv:1112.4508, arXiv:1203.1819), para encontrar más Big-Bang soluciones que admitir nonsingular descripciones, e incluso satisfacer Penrose de la curvatura de Weyl hipótesis (arXiv:1203.3382).

Pero, ¿qué hacemos cuando los componentes de la métrica $g_{ij}$ están en singular? Por ejemplo, la métrica de Schwarzschild, $g_{tt}=1-\frac {2m}{r}$ es singular en $r=0$. El componente $g_{rr}=(1-\frac {2m}{r})^{-1}$ también es singular por $r=2m$, en el horizonte de sucesos, pero esta singularidad se debe a las coordenadas, como se ve por el uso de Eddington-Finkelstein o Kruskal-Szekeres coordenadas. Estos datos revelan que la métrica es regular en el horizonte de sucesos, pero parecía singular debido a que las coordenadas de Schwarzschild son singulares en $r=2m$. No será que la singularidad $r=0$ es también debido a las coordenadas? Bien, esta singularidad es original, ya que el invariante $R_{ijkl}R^{ijkl}\to\infty$. Pero tal vez sea un buen comportamiento de la singularidad. En arXiv:1111.4837 se ha demostrado que hay coordenadas hacer la métrica de Schwarzschild analítica en la singularidad $r=0$. Por lo tanto, en estas nuevas coordenadas, $g_{ij}$ es degenerado, y también suave. Por otra parte, esta singularidad es semi-regulares, y podemos aplicar la geometría desarrollada en arXiv:1105.0201. Nonsingular coordenadas se encontraron también para la carga en singularidades (arXiv:1111.4332) y la rotación (arXiv:1111.7082).

Línea de base: no se debe identificar la parte inferior y superior de los índices, debido a que la resultante de los tensores son diferentes. Es cierto que mientras que la métrica es no degenerada, que podemos identificar con ellos, pero si la métrica se hace degenerar, entonces, grandes problemas surgen por esta identificación.

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La actualización. Voy a comentar el principal ejemplo, que de la tensión tensor de energía en Marrón del papel.

yo.

En el tratamiento de la p. 131 de Misner, dan $T_{\mu\nu}=(\rho+P)v_\mu v_\nu+P g_{\mu\nu}$ para un fluido perfecto; esto no es escalar-izada, y de hecho parece contradecir Brown uso de $T^\mu_\nu$.

En MTW p131, están hablando de un fluido perfecto. Debido a esto, la presión es la misma en todas las direcciones. En Marrón, el estrés de la energía para un esféricamente simétrica distribución de la materia (que no es siempre un líquido) es $T^\mu_\nu=\operatorname{diag}(-\rho,p_r,p_\theta,p_\phi)$. Tenga en cuenta que Brown considera que no existen fuera de la diagonal componentes (sin tensión de corte, debido a la simetría esférica, y no el impulso de la densidad, debido a que este agujero negro estático). Sólo la densidad de energía y la presión.

Más tarde, Brown toma la tensión de la energía a ser $T^\mu_\nu=\operatorname{diag}(-\rho,P,0,0)$, bajo el supuesto de que sólo hay radial tensión. Esta suposición se hizo para el modelo de un hilo (en realidad, un hilo para cada dirección radial), y esta es la razón por la que difiere de MTS, donde se considera un fluido.

ii.

No es obvio para mí que esto se corresponde mejor con las mediciones de la escritura de la misma r.h.s. pero con $T^{\mu\nu}$ o $T_{\mu\nu}$ a la izquierda.

En este caso, $T^\mu_\nu=\operatorname{diag}(-\rho,P,0,0)$ se expresa en un marco ortogonal (Brown, eq. 3). Pero el cuadro no es ortonormales, ya $\chi^2$ $f^2$ no son iguales a $1$. Así, el cambio a $T^{\mu\nu}$ o $T_{\mu\nu}$ a la izquierda de los cambios de los valores. En general, cuando la gente escribe $T^{\mu\nu}=\operatorname{diag}(\rho,P,P,P)$ o cosas como esta, lo consideran en un ortonormales marco, y en este caso, $T^\mu_\nu=\operatorname{diag}(-\rho,P,P,P)$.

iii.

Misner 1973, tiene un bonito pequeño resumen de este tipo de cosas en la página. 131, con, por ejemplo, una regla que indica que $T^\mu_\nu v_\mu v^\nu$ interpretado como la densidad de masa-energía, visto por un observador con cuatro-la velocidad de la $v$.

Esto no ayuda, porque se refiere a $T_{00}$ solamente. Si tenemos en cuenta el marco de la calidad de observador, a decir $(e_0,e_1,e_2,e_3)$,$v=e_0=(1,0,0,0)$, por lo tanto, $T^\mu_\nu v_\mu v^\nu=T_{00}$. Para encontrar el resto de los componentes de $T_{\mu\nu}$, uno debe de contrato con los otros elementos de la estructura.

Answer 2

Creo que no podemos medir escalares.

Si pensamos en un local de medición de la tensión tensor de energía, se debe hacer siempre corresponde a una covariante cantidad $T_{ij}$. Si bien la medición de la energía/momentum es posible, debe siempre corresponde a una covariante cantidad $p_i$. Esto viene de la definición de el impulso, si pensamos a Lagrange y acciones, en clásica o de la mecánica cuántica.

Una cantidad escalar, construir a partir de la tensión tensor de energía y contravariante de vectores puede corresponder a una cantidad medida, pero no es una "medida escalar". Por otra parte, la información que se viven en cantidades escalares es interesante, pero muy parcial. Sí, $T_{ij}u^iu^j$ es la densidad de energía vistos por el observador con la 4-velocidad de $u^i$. Pero, no creo que usted puede obtener , por ejemplo, el impulso de flujo visto por este observador, en una expresión escalar. De la misma manera, la expresión escalar $p_iu^i$ es la energía de la partícula de energía/momentum $p$ vistos por el observador de la 4-velocidad de $u^i$, pero creo que no se puede obtener una expresión escalar para el impulso de la partícula, visto por el mismo observador.

Cantidades como $T_i^j$ son interesantes, pero en la consideración de locales de tensión-energía tensor de cantidades, visto por un observador distante. Por ejemplo, en una métrica de Schwarzschild, $T_0^0$ $T$ son locales de estrés-tensor de energía, pero visto por el observador en el infinito, que es desplazada hacia el rojo. Esto es interesante cuando se calcula la masa total (con matar a un vector $\xi^a = \delta_0^a$) con expresiones como :

$M = -2\int d^3x \sqrt{g}[T_0^0 - \frac {T}{2}]$ (Padmanabhan 6.208 p 287)