¿Por qué no debe ' t esto demostrar el teorema del número primo?

Question

Alguien deduce sin utilizar análisis complejo que

%#% $ $$ \int \frac{\pi(t)}{t^2} \mathrm{d}t \sim \log\log t $ #% Dónde está la función primordial de conteo.

Distinguiendo lo anterior, luego llega a

%#% $ #% que es exactamente el teorema del número primo.

¿Sin embargo, siente que algo debe estar mal con este enfoque, pero no estoy seguro exactamente lo que?

Answer 1

El razonamiento es defectuoso porque $f\sim g$ ciertamente no implica $f'\sim g'$.

Por ejemplo, tomar $f(x)\equiv 0$ y $g(x)= \frac1N \sin N^2x$.

Answer 2

$f\sim g$ no implica $f'\sim g'$! De l'hospital de la regla sólo funciona en una dirección: $$\log x \sim \log \left((5+\sin x)x\right) \quad\text{but}\quad\frac1{x}\nsim\frac{((5+\sin x)x)'}{(5+\sin x)x}$$ o,si quieres, $$\log\log x \sim \log \log \left((5+\sin x)x\right) \quad\text{but}\quad\frac1{x\log x}\nsim\frac{((5+\sin x)x)'}{(5+\sin x)x \cdot \log\left((5+\sin x)x\right)}$$ (El factor de $5+\sin x$ está allí sólo para hacer el segundo cociente se portan mal.)

El punto es que no sabemos (a priori) que $$\frac{\pi(x)}{x/\log x}$$ tiene un límite de $x\to\infty$.

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Lo que l'Hôpital no nos dicen, es que si el límite de $(\pi(x)\log x)/x$ existe, entonces es $1$.

Creo que de Chebyshev de la prueba original (y posteriores) de este hecho también va a lo largo de estas líneas, a través de una Mertens-tipo de estimación de $\sum_{p\leq x}1/p\sim\int_1^x\pi(t)/t^2$.