¿Cuál es la diferencia entre la media estadística y cálculo media?

Question

Por ejemplo en las estadísticas aprender significa = e (x) de una función que se define como

$$\mu = \int_a^b xf(x) \,dx$$

sin embargo en cálculo nos enteramos de que

$$\mu = \frac {1}{b-a}\int_a^b f(x) \,dx $$

¿Cuál es la diferencia entre las medias en las estadísticas y cálculo y ¿por qué no dan la misma respuesta?

Gracias

Answer 1

Esto parece estar basada en la confusión resultante de la semejanza entre las notaciones utilizadas en las dos situaciones.

En probabilidad y estadística, uno se entera de que $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty x f(x)\,dx$ es la media, NO de la función $f$, pero de una variable aleatoria que denota (capital) $X$ (mientras que en minúsculas $x$ es utilizado en la integral), cuya función de densidad de probabilidad es $f.$ Este es el mismo que $\displaystyle \int_a^b xf(x)\,dx$ en los casos en donde la probabilidad es $1$ que la variable aleatoria $X$ se entre $a$ $b.$ (El fracaso, en el límite de la pregunta, para distinguir entre las minúsculas $x$ utilizado en la integral y el capital $X$ se utiliza en la expresión de $\operatorname E(X)$ es un error que puede hacer que sea imposible entender expresiones como $\Pr(X\le x)$ y algunas otras cosas.)

En el cálculo, la expresión $\displaystyle \frac 1 {b-a} \int_a^b f(x)\,dx$ es la media, NO de cualquier variable aleatoria $X,$ pero de la función $f$ sí, en el intervalo de $[a,b].\vphantom{\dfrac11}$

Observe que en la probabilidad, que necesariamente tienen $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=1$ $f(x)\ge 0,$ y la media de $\displaystyle \int_a^b xf(x)\,dx$ es necesariamente entre el $a$ $b.$ Pero nada de eso se aplica para el cálculo en el problema, ya que la cantidad cuya media se encuentra es en el $f(x)$-eje, no en el $x$-eje. $$\S \qquad\qquad \S \qquad\qquad \S$$ Posdata: Nueve personas, incluyendo a los que me tienen hasta votado "Jack M"'s comentario, tan sólo para satisfacer este punto de vista, voy a añadir algunas cosas.

Si $f$ es la función de densidad de la distribución de probabilidad de la variable aleatoria (capital) $X,$, la media de $g(X)$ (donde $g$ es alguna otra función) es $$ \int_{-\infty}^\infty g(x) f(x)\,dx. $$ Applying that to the situation in calculus, one can say that the density function of the uniform distribution on the interval $[a,b]$ is $1/(b-a),$ so if $X$ is a random variable with that distribution, then $$ \operatorname E(f(X)) = \int_a^b f(x) \frac 1 {b-a} \, dx. $$ And a random variable $X$ itself can be regarded as a function whose domain is a sample space $\Omega,$ with the probability measure $P$ assigning probabilities to subsets of $\Omega,$ and then you have $$ \operatorname E(X) = \int_\Omega X(\omega)\, P(d\omega). $$

Answer 2

Tal vez usted puede considerar la segunda forma de decir como una media de la muestra, la radiodifusión analógica a la $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$ en el caso discreto.

Que es: la función de $f(x)$ en este caso sería la realización de una variable aleatoria.

Por favor considerar la noción de un proceso estocástico, donde una colección de variables aleatorias $X$ está indexado, o asociado con un continuo determinista de la variable $t$. Por ejemplo, $X(t)$ podría modelar el tiempo de la temperatura en un momento dado de tiempo $t$, durante el intervalo de $[ a, b]$. Por eso, $X(a)$ no sería un valor, sino toda una variable aleatoria, con una media, varianza, etc. Y cuando usted escribe $X(t)$ tiene una colección de variables aleatorias, uno para cada una de las $t \in [a, b]$.

Si todas estas variables tienen las mismas propiedades, decir $X(t)$ es estacionaria, y por lo tanto, $\mu$, la media de $X(t)$, puede ser estimada a partir de la serie de valores de una realización de $X(t)$ - en nuestro caso, algunas medidas reales de la temperatura en un intervalo dado de tiempo. En ese caso, su función $f(x)$ sería rebautizado $x(t)$ (con minúscula $x$) para indicar una realización del proceso estocástico $X(t)$. Y, a continuación,

$$\bar{x} = \frac{1}{b - a} \int_a^b x(t)\,dt$$

sería un estimador de $\mu$, el real de la media del proceso estacionario $X(t)$.