Creo que este es un muy buen problema. Si me puede cambiar la notación ligeramente ...
El Problema
Deje $\quad W \sim N(\mu_0, \sigma_0^2), \quad X_1 \sim N(\mu_1, \sigma_1^2), \quad X_2 \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$
denotar variables aleatorias independientes, y deje $c$ denotar una constante.
Encontrar el pdf de $Z$, donde:
$$ Z = \begin{cases}W + X_1 & \text{if } W \leq c \\ W + X_2 & \text{if } W > c \end{cases}$$
Solution
To solve this, we need to solve 2 problems.
Find $h_1(z)$: the pdf of $(W + X_1) \, \big| \ (W \leq c) \quad $ (es decir, truncada por encima de lo Normal + Normal)
Encontrar $h_2(z)$: el pdf de $(W + X_2) \, \big| \, (W > c) \quad $ (es decir, truncada por debajo de lo Normal + Normal)
A continuación, el pdf de $Z$, decir $h(z)$, es el componente de la mezcla:
$$h(z) \, = \, P(W \leq c) * h_1(z) \quad + \quad P(W>c) * h_2(z)$$
Solution: Part 1
$\rightarrow$ The pdf of the sum of a truncated-above Normal and a Normal
If $W$ is truncated ABOVE at $c$, ... then the joint pdf of $(W \big|(W \leq c),X_1)$, say $f_1(w,x_1;c)$, is, by independence, simply the product of the respective individual pdf's ... that is, $f_1(w,x_1;c) = \frac{f_w(w)}{P(W<c)} * f_{x_1}(x_1)$:
![]()
Next, transform $(W,X_1) \rightarrow (Z=W+X_1, V=X_1)$. Here is the joint pdf of $(Z, V)$, say $g_1(z,v)$:
![]()
donde:
Estoy usando el Transform función en el mathStatica paquete de Mathematica para hacer los detalles gritties.
Tenga en cuenta que la transformación de la ecuación de $(Z=W+X_1, V=X_1)$ induce dependencia entre el$Z$$V$. En particular, desde la $Z=V+W$$W < c$, se deduce que el $Z < V + c$. Esta limitación importante es introducido con el Boole[ blah ] declaración anterior.
Erf[.] denota la función de error
Buscamos el marginal pdf de $Z = W + X_1$, decir $h_1(z)$, la cual es:
![]()
... definido en la recta real. Esto concluye la Parte 1.
Solución: Parte 2
$\rightarrow$ El pdf de la suma de un truncada por debajo de lo Normal y Normal
Si $W$ es truncado por DEBAJO de a $c$, ... entonces el conjunto pdf de $(W \big|(W > c),X_2)$, decir $f_2(w,x_2;c)$, es decir, por la independencia, simplemente el producto de las respectivas individuales pdf ... eso es, $f_2(w,x_2;c) = \frac{f_w(w)}{P(W>c)} * f_{x_2}(x_2)$:
![]()
Siguiente, transformar $(W,X_2) \rightarrow (Z=W+X_2, V=X_2)$. Aquí está la articulación pdf de $(Z, V)$, decir $g_2(z,v)$:
![]()
- Tenga en cuenta que la transformación de la ecuación de $(Z=W+X_2, V=X_2)$ induce dependencia entre el$Z$$V$. En particular, desde la $Z=V+W$$W > c$, se deduce que el $Z > V + c$. Esta limitación importante es introducido con el
Boole[ blah ] declaración anterior.
Buscamos el marginal pdf de $Z = W + X_2$, decir $h_2(z)$, la cual es:
![]()
...definido en la recta real. Esto concluye la Parte 2.
El Componente De La Mezcla
Todas las piezas necesarias para el rompecabezas están ahora en su lugar. Para hacer esto explícito, si $W \sim N(\mu_0, \sigma_0^2)$ con pdf $f(w)$:
![]()
... a continuación, $P(W<c)$ es:
![]()
Recordemos que el pdf de $Z$ es:
$$h(z) \, = \, P(W \leq c) * h_1(z) \quad + \quad P(W>c) * h_2(z)$$
... which is explicitly:
![]()
where $Z$ is defined on the real line. All done.
Monte Carlo check
It is always a good idea to check symbolic work using alternative methods. Here is a quick Monte Carlo check when:
$\text{params}=\left\{\mu _0\16,\mu _1\3,\mu _2\2,\sigma _0\a 6,\sigma _1\a 0.1,\sigma _2\2,c\12\right\}$
The following plot compares:
- a Monte Carlo simulation of the pdf of $Z$ (garabatos curva AZUL) a la
- solución teórica derivada de la anterior (discontinua curva ROJA)
![]()
Se ve bien :) parámetros Diferentes opciones puede, por supuesto, de rendimiento muy diferentes en forma de resultados.
Media de $Z$
Paulius Sarka pregunta: "¿la media de Z tiene una forma analítica"
Sí - es más fácil que se derivan de este:
$$ Z = \begin{cases}W + X_1 & \text{if } W \leq c \\ W + X_2 & \text{if } W >c\end{cases}$$
... it follows that:
$$E[Z] = P(W \leq c) \big(E[W \big | W \leq c] + \mu_1 \big) \quad + \quad P(W>c)\big(E[W \big | W > c] + \mu_2 \big)$$
which yields the closed-form solution:
$$E[Z] \quad = \quad \mu_0 \, + \, P(W \leq c) \mu_1 \, + \, P(W > c) \mu_2$$
