Estados definidos en la C-álgebras

Question

Un estado $\omega$ en un unital $C^*$ álgebra $A$ se llama definido en $a\in A$ auto-adjoint si $\omega(a^2)=\omega(a)^2$.

He demostrado que si tenemos un estado definido en $a$, entonces para todos los $b\in A$ tenemos: $$\omega(ab)=\omega(ba)= \omega(a)\omega(b).$$

Ahora quiero probar el siguiente. Deje $a\in A$ ser uno mismo-adjoint y asumir que todos los $0\neq b\in A$, existe un estado definido, $\omega$ $a$ tal que $\omega(b)\neq0$. Demostrar que $a\in Z(A)$ donde $Z(A)$ es el centro de la $A$.

El problema es: no tenemos ninguna información que garantiza que $\omega$ es uno-a-uno, pero sé que cada estado defina un punto interior del producto en $A$ como sigue : $\forall a,b\in A$: $\langle a,b\rangle =\omega(b^*a)$, ¿me ayuda ??

Cualquier idea es muy apreciada. Gracias!

Answer 1

Deje $I_a$ denota el conjunto de todos definido estados $\omega$$a$. Por lo que han demostrado, que simplemente sigue de Cauchy-Schwarz desigualdad aplicado a $\omega(x^*y)$ (ver aquí, una pregunta, para una prueba), obtenemos $$ca-ca\en\bigcap_{\omega\en I_a}\;\mbox{Ker}\;\omega\qquad\forall c\en A.$$ Deje $c$$A$. Si $b=ac-ca\neq 0$ existe $\omega \in I_a$ tal que $\omega(b)=\omega(ac-ca)\neq 0$. Así que esto contradice lo que has demostrado ser. Por lo tanto $ac-ca=0$ por cada $c\in A$. Que es $a$ pertenece al centro de $A$. QED.

Para abreviar: la asunción significa que $\bigcap_{\omega\in I_a}\;\mbox{Ker}\;\omega=\{0\}$. Así que cada colector $ac-ca$ debe $0$.