$F(h)=\int_0^1{h\left\lvert f(x+h)-f(x) \right\rvert}dx$ tiene la derivada en 0

Question

Dejemos que $f$ sea una función integrable de Riemann definida en $[-2,2]$ . Definir una función $F:(-1,1)\to \Bbb{R}$ por $$F(h)=\int_0^1{h\left\lvert f(x+h)-f(x) \right\rvert}dx$$ Demuestre que la derivada $F'(0)$ existe.

He intentado utilizar el teorema fundamental del cálculo después de algún cambio de variables, pero no parece funcionar ya que no hay relación entre $h$ y $x$ .

Entonces intenté demostrar por definición: demostrar que existe el siguiente límite $$\lim_{h\to 0}\frac{F(h)-F(0)}h=\lim_{h\to 0}\int_0^1{\left\lvert f(x+h)-f(x) \right\rvert}dx$$ Supongo que el límite es $0$ . Pero no sé cómo probarlo. ¿Podría darme alguna pista? Gracias.

Edit : Bueno, después de algunos intentos, creo que puedo hacerlo así (una idea aproximada): $$\left\lvert f(x+h)-f(x) \right\rvert\le \underset{P_h}{\sup f}-\underset{P_h}{\inf f}$$ donde $P_h$ es una partición de $[-2,2]$ s.t. tiene alguna relación para restringir el $\left\lvert f(x+h)-f(x) \right\rvert$ para ser lo suficientemente pequeño. Creo que este es el enfoque correcto, ¿cómo puedo cambiarlo a un argumento riguroso?

Answer 1

Suponiendo que haya ningún valor absoluto dentro de la integral, es decir, que $$ F(h) = \int_{0}^{1} h\bigl(f(x + h) - f(x)\bigr)\, dx, $$ Aquí hay una prueba corta y elemental.

Para $|h| < 1$ , usted tiene $$ \int_{0}^{1} f(x + h)\, dx = \int_{h}^{1 + h} f(x)\, dx, $$ es decir, "la integral de la misma función sobre un intervalo ligeramente desplazado". Dado que $f$ es integrable de Riemann, su valor absoluto está acotado en $[-2, 2]$ por algún número real $M$ Así que \begin{align*} \left\lvert \frac{F(h) - F(0)}{h}\right\rvert &= \left\lvert\int_{0}^{1} \bigl(f(x + h) - f(x)\bigr)\, dx\right\rvert \\ &= \left\lvert\int_{h}^{1 + h} f(x)\, dx - \int_{0}^{1} f(x)\, dx\right\rvert \\ &= \left\lvert\int_{1}^{1 + h} f(x)\, dx - \int_{0}^{h} f(x)\, dx\right\rvert \leq 2M|h|. \end{align*}

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Con el valor absoluto me parece que Paramanand Singh tiene razón: Necesitas que $f$ es "casi uniformemente continua".

He aquí una estrategia viable: Aproximadamente $f$ por un continuo función $g$ avec $\int_{-2}^{2} |f(x) - g(x)|\, dx$ pequeño (esto es un poco delicado, pero lo suficientemente elemental como para ser un ejercicio de Spivak Cálculo (si la memoria no me falla). A continuación, utilice la continuidad uniforme de $g$ para mostrar $$ \int_{0}^{1} |g(x + h) - g(x)|\, dx $$ puede hacerse arbitrariamente pequeño tomando $|h|$ suficientemente pequeño. Por último, la desigualdad del triángulo y el truco algebraico estándar $$ f(x + h) - f(x) = \bigl[f(x + h) - g(x + h)\bigr] + \bigl[g(x + h) - g(x)\bigr] + \bigl[g(x) - f(x)\bigr] $$ puede utilizarse para controlar $$ \int_{0}^{1} |f(x + h) - f(x)|\, dx. $$