el determinante de una perfecta complejo

Question

Decir $K_\bullet$ es un almacén de complejo de vector de paquetes. Me parece que quieren que el determinante de a $K_\bullet$ a ser la alternancia de tensor de producto de los términos del complejo:

$\det(K) = \bigotimes_n \det(K_n)^{(-1)^n}$.

Hay una razón por la que esto es la definición correcta (o incorrecta definición)? Existe una mejor definición?

Answer 1

Es un teorema de Deligne que este es essentialy la única fórmula posible, si usted pide el determinante functor para satisfacer algunas de las propiedades naturales (principalmente det tiene que ser compatible con el exacto secuencias). Ver tesis de Diapositivas , por ejemplo.

Answer 2

Ahora me doy cuenta de esto está cubierto muy bien en las notas Muro vinculados por YBL, pero de todos modos aquí está un breve resumen: Dado un perfecto complejo de espacios vectoriales (vamos a trabajar primero a través de un punto), llegamos a un homotopy punto de la K-teoría del espectro, y podemos empezar a preguntar "en qué punto se encuentra" en más y más refinado de la moda. Primero le preguntamos por qué componente es (es decir, mirar pi_0) - estos son etiquetados por los números enteros, es decir, por la característica de Euler de su complejo. A continuación, puede pedir que lo describen como un objeto de la fundamental groupoid de K-teoría (es decir, dar también pi_1 información). Este fundamentales groupoid es canónicamente identificado con la (Picard) groupoid de graduados (super)líneas. La calificación se da por la característica de Euler (es decir, el proyecto en pi_0), y el superline es el determinante de la línea de su complejo. Si le das concretas realizaciones de los más fundamentales groupoids de la K-teoría espectro concretas K de la teoría de los invariantes de su complejo de un superior y superior, de naturaleza categórica (el final de curso dando su propio complejo como un homotopy punto (o contráctiles subconjunto) de la K-teoría). Usted puede hacer lo mismo en las familias, es decir, sobre una base, dando un localmente constante de la función sobre la base de pi_0 (la característica de Euler de su complejo), y un Z-graduada de super línea de paquete en la base (determinante de la línea), y así sucesivamente..

Un lugar de que esto se utiliza muy bien (y cuando me enteré de esto) es Beilinson del trabajo en epsilon factores.

Answer 3

Usted debe tomar una mirada en el apéndice a de "Discriminantes, como resultado, Multidimensional y Determinantes" por Gelfand, Kapranov y Zelevinsky

Answer 4

Entiendo que la construcción de la determinante de un perfecto complejo, esta definición es bastante sencillo, ya que, en una breve secuencia exacta, dicen $$ 0\rightarrow S\rightarrow E\rightarrow Q\rightarrow 0$$ definir el determinante de la secuencia de la alternancia tensor es de la forma canónica a hacer es isomorfo a $\mathbb{1}$.

Yo también creo que las buenas referencias que de esto podría ser la original en papel por Knudsen-Mumford, un libro de Kato, y también un papel por los reyes que se enumeran a continuación:

Knudsen, Finn Faye; Mumford, David: La projectivity del espacio de moduli de la estabilidad de las curvas. I. Preliminares sobre el "detonante" y "Div". La parte sobre los determinantes aparece en el Capítulo I, pero se nota que hay un error tipográfico definir el determinante, es decir, en el mapa de la transposición de producto tensor, no debería ser $\alpha\cdot\beta$ en lugar de la suma de estos dos como un poder de $-1$;

Guido Reyes: Una introducción a la equivariant Tamagawa número conjetura: la relación con el Abedul-Swinnerton-Dyer conjetura

http://www.uni-regensburg.de/Fakultaeten/nat_Fak_I/FGAlgZyk/index-en.html

Hay una parte sobre los determinantes en la conferencia 1 de la sección 5, donde no hay un montón de detalles, pero proporciona una buena vista hacia la construcción de determinante.

Kato: Conferencias sobre el enfoque de la teoría de Iwasawa de Hasse-Weil L-funciones a través de B_dR, parte I, que se menciona determinante en la 2.1.