¿Qué es Re(f(z))=c si f es una función holomorfa?

Question

Supongamos que $f:U\subset\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ , donde $U$ es una región del plano complejo, es una función holomorfa.

Si $c\in\mathbb{R}$ es un valor regular para $\text{Re}(f(z))$ entonces se deduce del teorema de la función implícita que $\text{Re}(f(z))^{-1}(c)$ es al menos localmente una curva diferenciable en el plano.

Pregunta:

1- Si $c$ es un valor regular es cualquier componente conectado de $\text{Re}(f(z))^{-1}(c)$ ¿una curva global diferenciable?

2-Si $c$ no es un valor regular y $\text{Re}(f(z))^{-1}(c)$ tienen al menos un punto de agrupación ¿es este conjunto localmente una curva?

Answer 1

(1) Para utilizar su notación, si $c \in \mathbb{R}$ es un valor regular, entonces el conjunto de niveles $Re(f(z))^{-1}(c)$ será un submanifold incrustado unidimensional de $U \subset \mathbb{R}^2$ . Por lo tanto, cada componente conectado será un manifold conectado de 1.

Ahora, no estoy seguro de lo que quieres decir exactamente con "curva global diferenciable".

Si te refieres a "algo de la forma $f(t) = (x(t), y(t))$ ," entonces se deduce de los comentarios en esta pregunta que sí, todos los componentes conectados pueden ser puestos en esa forma.

Si te refieres a "algo de la forma $y = f(x)$ o $x = f(y)$ ", entonces la respuesta es (creo) que no. Por ejemplo, considere $f(z) = \log z$ en $U = R^2 - \{x \geq 0, y = 0\}$ es decir, el plano con el eje x no negativo eliminado. Entonces $Re(f(z)) = \log(\sqrt{x^2+y^2})$ , por lo que el conjunto de niveles $Re(f(z))^{-1}(1)$ es el círculo $x^2 + y^2 = e^2$ menos el punto $(e,0)$ . Por lo tanto, no parece que se pueda representar esta curva con una sola función $x = f(y)$ o $y = f(x)$ .