$\mathbb{R}^*$ no cíclico

Question

Necesito demostrar que el grupo multiplicativo $\mathbb{R}^*$ de números reales distintos de cero no es cíclica.

Esto es lo que estoy pensando. Necesito demostrar que no existe $a$ tal que todos los elementos de $\mathbb{R}^*$ son de la forma $a^n$ con $n\in \mathbb{Z}$ . Pero no estoy seguro de cómo hacerlo. ¿Debo proporcionar un contraejemplo eligiendo dos números reales y demostrando que no pueden ser de la forma $a^n$ con la misma base?

Answer 1

Pista para una demostración rápida: todo grupo cíclico es contable.

Answer 2

Tiene un elemento de orden 2, pero no es finito.

Answer 3

Pregunta análoga para $R^+$ :

Puede suponer que $a>1$ (si no, trabaja con $a^{-1}$ también un generador). Entonces cualquier punto entre $a$ y $a^2$ no puede ser un poder de $a$ . (Todas las potencias negativas son $<1$ y todas las demás potencias positivas son $>a^2$ .)