¿Cómo calcular esta integral utilizando el teorema de convergencia dominada?

Question

I $$\lim_{n\to\infty}\int_{n^{-1}}^n \frac{n^2xe^{-n^2x^2}}{1+x^2}\,dx\tag{1}$$

He utilizado dos enfoques pero he obtenido respuestas diferentes.

(1) tomar $y=n^2x^2$ entonces $$(1)=\lim_{n\to\infty}\int_1^{n^4}\frac{e^{-y}}{2(1+\frac{y}{n^2})}\,dy$$

$\frac{e^{-y}}{2(1+\frac{y}{n^2})}1_{[1,n^4]}(y)$ está dominada por $e^{-y}$ que es integrable, entonces por el teorema de convergencia dominada obtenemos $(1)=(2e)^{-1}$

(2) tomar $g(n)=\frac{n^2xe^{-n^2x^2}}{1+x^2}$ diferenciarse $n$ $$g'(n)=\frac{2(1-n^2x^2)nxe^{-n^2x^2}}{1+x^2}\tag{3}$$

desde $x\in[n^{-1},n]$ entonces $g'(n)<0$ así que para todos $x\in[n^{-1},n]$ , $g(n)\le g(1)=\frac{xe^{-x^2}}{1+x^2}$ entonces $$\frac{n^2xe^{-n^2x^2}}{1+x^2}1_{[n^{-1},n]}(x)\le\frac{xe^{-x^2}}{1+x^2}\tag{2}$$

que es integrable, entonces por el teorema de convergencia dominada, obtenemos $(1)=0$

Estoy confundido acerca de lo que está mal con mi aplicación del teorema de convergencia dominada, ¡cualquier ayuda será apreciada!

Answer 1

El primer planteamiento es correcto. Sin embargo, hay un fallo en el segundo.

Tenga en cuenta que $g'(n)=\frac{2(1-n^2x^2)nxe^{-n^2x^2}}{1+x^2}=0$ cuando $n=1/x$ . Y al máximo, $g(1/x)=\frac{e^{-1}}{x(1+x^2)}$ que no es integrable para $x\in [0,1]$ .

La función dominante propuesta, $\frac{xe^{-x^2}}{1+x^2}$ de hecho, no domina $g(n)=\frac{n^2xe^{-n^2x^2}}{1+x^2}$ para todos $x\in [1/n,n]$ .

En $x=1/n$ tenemos $g(n)=ne^{-1}> \frac1n e^{-1/n^2}$ para $n>1$ .

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Una forma de sortear esta dificultad es escribir

$$\begin{align} \int_{1/n}^n\frac{n^2xe^{-n^2x^2}}{1+x^2}\,dx&=\int_{1/n}^n n^2xe^{-n^2x^2}\,dx-\int_{1/n}^n\frac{n^2x^3e^{-n^2x^2}}{1+x^2}\,dx\\\\ &=\frac12 (e^{-1}-e^{-n^4})-\int_{1/n}^1\frac{n^2x^3e^{-n^2x^2}}{1+x^2}\,dx-\int_{1}^n\frac{n^2x^3e^{-n^2x^2}}{1+x^2}\,dx \tag 1 \end{align}$$

Ahora, dejemos que $h_n(x)=\frac{n^2x^3e^{-n^2x^2}}{1+x^2}$ . Entonces, es fácil demostrar que $h_n(x)\le \frac{xe^{-1}}{1+x^2}$ . Así, la DCT garantiza que la primera integral del lado derecho de $(1)$ se acerca a $0$ .

Para la segunda integral, observamos que para $x\ge 1$ , $h_n(x)\le \frac{x^3e^{-x}}{1+x^2}$ . Por lo tanto, la DCT garantiza que la segunda integral del lado derecho de $(1)$ también se acerca $0$ .

Por lo tanto, tenemos

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\lim_{n\to \infty}\int_{1/n}^n\frac{n^2xe^{-n^2x^2}}{1+x^2}\,dx=\frac{e^{-1}}{2}}$$

¡como era de esperar!