Deje que $f : [0,1] \to \mathbb {R}$ probar que $2 \int_ {0}^{1} f(x)dx \ge f \Big ( \frac {1}{n} \Big ) + \sum_ {k=1}^{n-1} \frac {1}{k} f \Big ( \frac {k}{n} \Big )$

Question

Deje que $f : [0,1] \to \mathbb {R}$ ser una función diferenciable con una derivada continua tal que $f(x) \ge xf'(x), \forall x \in [0,1]$ . Demuéstralo:

$$2 \int_ {0}^{1} f(x)dx \ge f \Big ( \frac {1}{n} \Big ) + \sum_ {k=1}^{n-1} \frac {1}{k} f \Big ( \frac {k}{n} \Big )$$ , $ \forall n \in \mathbb {N}, n \ge 2$

$ \mathbf {Edit}$ : Como señalaron Elaqqad y Crostul, puede haber un error de imprenta en la desigualdad. ¿Qué pasa si lo tenemos?

$$2 \int_ {0}^{1}f(x)dx \ge f \Big ( \frac {1}{n} \Big ) + \sum_ {k=1}^{n-1} \frac {1}{n} f \Big ( \frac {k}{n} \Big ) ?$$

¿Se mantendrá esta desigualdad?

Answer 1

El problema aquí es que tu desigualdad no es cierta, toma por ejemplo la función constante: $\forall x\in [0,1]$ $$f(x)=1$$ su desigualdad es equivalente a : $$2=2 \int_{0}^{1} f(x)dx \ge f\Big(\frac{1}{n}\Big) + \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k} f\Big(\frac{k}{n}\Big)=1+H_{n-1}=1+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}$$ lo cual es claramente falso, porque: $$H_n \sim \ln(n)\xrightarrow{n\to \infty} \infty$$

(No sé cómo podemos corregirlo, pero la diferencia es muy grande para funciones casi constantes)

Editar La corrección propuesta tampoco se sostiene, tomemos por ejemplo $n=2$ , $$2 \int_{0}^{1} f(x)dx \geq \frac{3}{2} f \left(\frac{1}{2}\right) $$ lo cual no es válido para una función como $f(x)= x(1-x)$ .

Como corrección la única desigualdad que se me ocurre es la desigualdad de Reimann que se mantiene para la función decreciente $g(x)=\frac{f(x)}{x}$ y creo que es el único que enlaza entre $f\left(\frac{k}{n}\right)$ y la integral de $g$