¿Cómo se clasifican los no cuadrados en $\mathbb{Q}_2$? He intentado escribir extensiones para números "impares" en $\mathbb{Z}_2$, pero a diferencia de en $\mathbb{Z}_p$, el término de #% % n #% en la expansión no siempre únicamente determina una vez que sabes los primeros términos n-1, y cuando encuentres un cuadrado no es no obvio (a mí al menos) si es di visible por otro no cuadrados que ya has encontrado.
Respuesta
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Como para cualquier campo $K$ de características diferentes de $2$, el cuadrática extensiones son todos de la forma$K(\sqrt{d})$$d \in K^{\times} \setminus K^{\times 2}$; por otra parte $K(\sqrt{d_1}) \cong K(\sqrt{d_2}) \iff d_1 = a^2 d_2$. Por lo tanto son parametrizadas por el trivial elementos de $K^{\times}/K^{\times 2}$. Tenga en cuenta que este es un $\mathbb{F}_2$-espacio vectorial, por lo que es suficiente para determinar su dimensión. En lo que sigue voy a denotar esta $\mathbb{F}_2$-dimensión simplemente por "$\operatorname{dim}$".
Si $K$ es la fracción de campo de una discreta valoración anillo de $R$, luego de $K^{\times} \cong R^{\times} \oplus \mathbb{Z}$ es fácil ver que
$\dim K^{\times}/K^{\times 2} = 1+ \dim R^{\times}/R^{\times 2}$.
Así que, aquí, usted quiere saber la plaza de clases en $\mathbb{Z}_2^{\times}$. Yo reclamo que un elemento $u \in \mathbb{Z}_2^{\times}$ es un cuadrado si su residuo modulo $8$ es un cuadrado en $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$: para ver esto, utilice Hensel del Lexema. De esto se sigue que
$\dim \mathbb{Z}_2^{\times} / \mathbb{Z}_2^{\times} = \dim (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^{\times} / (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^{\times 2} = 2$
y así
$\dim \mathbb{Q}_2^{\times} / \mathbb{Q}_2^{\times} = 3$.
Este argumento debe darle explícita representantes, es decir, el $2^3-1 = 7$ cuadrática extensiones de $\mathbb{Q}_2$ conseguido por contigua a las raíces cuadradas de los $3,5,7,2,6,10,14$.
