Involución en el espacio de Cantor con exactamente un punto fijo

Question

Que $X=\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ ser el espacio de Cantor. ¿Qué es un ejemplo de un mapa continuo $\sigma : X \to X$ $\sigma^2=\mathrm{id}$ y $\# \{x \in X : \sigma(x)=x\} = 1$?

Esto tiene que existir, puesto que $X$ es homeomorfa a $\mathbb{Z}_p$ por el teorema de Brouwer, y allí podemos tomar $x \mapsto -x$.

Answer 1

Definir así $\sigma:(x_1,x_2,\dots)\mapsto(y_1,y_2,\dots)$ que $y_n=x_n\Leftrightarrow x_1+x_2+\cdots+x_{n-1}=0$.

En palabras, todo del tirón después de los primeros $1$.

Answer 2

Considerar el Homeomorfismo de $\{0,2,3\}^{\mathbb{N}}$ $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ asignación de una secuencia de $(a_n)$ a la concatenación de binarios escritos del $a_n$'s.

Answer 3

$\newcommand\N{\mathbb{N}}$Deje $p=3$ por la sencillez (lo que sigue podría funcionar para cualquier $p$, no es que realmente lo necesitamos). Primero definimos una homeomorphism $f : \{0,1,2\}^\N \to \{0,1\}^\N$. $f(x)$ se define mediante la concatenación de las $\varphi(x_n)$ donde: $$\varphi(u) = \begin{cases} (0) & u = 0 \\ (1,0) & u = 1 \\ (1,1) & u = 2 \end{casos}$$ Esta es continuo: tenemos que comprobar que la preimagen de $\{x | x_n = k \}$ (donde $k,i$ son fijos) está abierto, pero sólo hay un número finito de principios de secuencias de satisfacciones. A la inversa mapa se define "inductivamente": si vemos un cero que agregar un cero a la imagen, de lo contrario, si vemos a $1*$ agregar cualquiera de las $1$ o $2$. El mapa es, por tanto, bijective, y puesto que ambos espacios son compactos (Tychonoff) y Hausdorff, este es un homeomorphism.

Ahora el mapa $\{0,1,2\}^\N \to \mathbb{Z}_3$ definido por $x \mapsto \sum_n x_n 3^n$ es un homeomorphism (es fácil, no voy a probarlo, pero yo en realidad no lo necesitan), que nos permite intuir la involución. Definir $\sigma : \{0,1,2\}^\N \to \{0,1,2\}^\N$ por: $$\sigma(x)_n = \begin{cases} 0 & x_n = 0 \\ 2 & x_n = 1 \\ 1 & x_n = 2 \end{casos}$$ Esto corresponde a $y \mapsto -y$$\mathbb{Z}_3$. A continuación, $\sigma$ es un auto-homeomorphism (bijective es obvio, cada componente del mapa está compuesto de una proyección y $(12) \in \mathfrak{S}_2$, finalmente ambos espacios compactos de Hausdorff, entonces, es un homeomorphism), y la de secuencia cero es el único punto fijo. Finalmente, $f \sigma f^{-1}$ es la involución que quería.