¿Existencia de grandes cadenas demostrables en ZFC?

Question

Si uno asume que GCH, no es difícil demostrar que para cada % de Cardenal infinito $\kappa$, existe una cadena de subconjuntos de $2^\kappa$ $\kappa$ relativa a inclusión conjunto (y por supuesto, existe un tal cadena de subconjuntos para cualquier conjunto de tamaño $\kappa$). ¿Mi pregunta es la siguiente: puede uno probar en ZFC que cada infinito % cardenal $\kappa$, es una cadena de subconjuntos de $\kappa^+$de % de $\kappa$? Esto puede ser un resultado estándar de teoría de juego combinatoria (si es cierto), pero estoy teniendo un tiempo difícil encontrar una referencia.

Answer 1

Sí, esto es cierto. Deje $\lambda$ ser el menos cardinal tal que $\kappa^\lambda>\kappa$. Deje $X={}^{<\lambda}\kappa$, el conjunto de todas las secuencias en $\kappa$ indexados por un ordinal menos de $\lambda$. Por minimality de $\lambda$, $|X|=\kappa$, así que basta encontrar una gran cadena en $\mathcal{P}(X)$.

Para encontrar una cadena, tenga en cuenta que podemos totalmente orden de $X$ lexicográficamente, y de hecho este orden se extiende a $X\cup {}^{\lambda}\kappa$. Ahora vamos a $A\subset\mathcal{P}(X)$ ser la colección de todos los niveles inferiores de conjuntos de $X$: $A$ es el conjunto de todos los conjuntos de $Y\subseteq X$ que si $y\in Y$ y $x\in X$, $x<y$ implica $x\in Y$ (donde $<$ es el lexicográfica del orden). Tenga en cuenta que $A$ es totalmente ordenado en virtud de la inclusión. Cada $s\in{}^\lambda\kappa$ determina un elemento de $A$, es decir,$\{x\in X:x<s\}$. Es fácil ver que estos conjuntos son diferentes para diferentes valores de $s$ (entre cualesquiera dos elementos de la ${}^\lambda\kappa$ hay un elemento de $X$), por lo $A$ tiene cardinalidad, al menos,$\kappa^\lambda>\kappa$.

En general, el supremum de todas las longitudes de las cadenas en $\mathcal{P}(\kappa)$ se llama $\operatorname{ded}(\kappa)$. También puede ser descrito como el supremum de todas las cardinalidades de la serie de Dedekind cortes en un conjunto ordenado de tamaño $\kappa$ (de ahí el nombre de "ded"), o como el supremum de todas las cardinalidades de totalmente de conjuntos ordenados con un subconjunto denso de tamaño $\kappa$. El argumento anterior muestra que el $\operatorname{ded}(\kappa)\geq\kappa^\lambda$ menos $\lambda$ tal que $\kappa^\lambda>\kappa$. Para un poco más de discusión y algunas referencias, véase esta cuestión en MO.