¿Principales teoremas y técnicas para probar Homeomorfismo?

Question

Pregunta general: ¿Cuáles son los teoremas/métodos más comunes para probar Homeomorfismo?

Me encontré con:
-encontrar el mapa explícitamente
-utilizar el lema de compactos de Hausdorff
-encontrar cts mapas $f$y $g$ s.t. $f\circ g=g\circ f= i$ $i$ Dónde está el mapa de la identidad.

¿Puede alguien profundizar o corregir/ampliar mi lista?

Answer 1

Supongamos que $f: X \rightarrow Y$ es un bijective mapa continuo. En general, de esto no se sigue que $f^{-1}$ es continua, por lo $f$ no es necesariamente un homeomorphism.

Sin embargo, hay algunos casos especiales en los $f: X \rightarrow Y$ bijective y continua implica que $f$ es un homeomorphism. En cualquier curso de introducción en el análisis funcional, se llega a través de la asignación abierta teorema. Como corolario, se obtiene el delimitada inversa teorema:

Delimitada Inversa Teorema: Vamos a $X$ $Y$ ser espacios de Banach. Supongamos que $T: X \rightarrow Y$ es un bijective, lineal y continua mapa. A continuación, $T$ es un homeomorphism.

Este es un caso muy especial, aquí la linealidad y la estructura algebraica de $X$ $Y$ es de vital importancia para el teorema anterior para celebrar. También existe la siguiente teorema, demostrado en la década de 1960.

Teorema: dos separables infinito-dimensional de los espacios de Banach son homeomórficos.

Answer 2

Probablemente el método más útil es dar una clasificación completa de una determinada clase de espacios. Una clasificación de los espacios satisfacer algunas de la propiedad $P$ equivale a dar una serie de criterios para dichos espacios (esperemos que un conjunto finito de criterios) de tal manera que dos espacios con la propiedad $P$ son homeomórficos si y sólo si ambos espacios coinciden para todos los criterios. Por ejemplo

• $2$-dimensiones de los colectores ($3$-dimensiones de los colectores son casi hecho). Estos se clasifican según su género (o característica de Euler, o homología, o grupo fundamental) y sus orientability. Si usted desea considerar colectores con el límite y marcado de los puntos, cantidades a cuenta también con límite de círculos y puntos marcados.
• Perfecto totalmente desconectado compacto métrica espacios. La clasificación de estos espacios es realmente fácil - sólo hay un espacio de hasta homeomorphism con estas propiedades y es el conjunto de Cantor. Una técnica común para demostrar que un espacio es homeomórficos para el conjunto de Cantor es simplemente para comprobar que cumple con todas las propiedades anteriores.
• Espacio finito. Esta es una fácil. Usted sólo necesita verificar su cardinalidad y, a continuación, todas las permutaciones de los elementos y la acción de este en la topología. Supongo que esto llega a su primer punto de " encontrar un mapa explícitamente, pero lo menciono porque podemos hacer esto de una manera algorítmica, por lo finito espacios son especialmente adecuados para este método, incluso si la complejidad computacional de este tipo de prueba no es factible de ser realizado en la práctica.
• Nudo complementa en la esfera. Porque un nudo complementar $S^3\setminus K$ es homeomórficos a $S^3\setminus K'$ si y sólo si $K$ $K'$ son isotópicas nudos, esto equivale a continuación, la clasificación de los nudos. Este es un problema difícil, pero (hasta donde yo sé) se espera que sea solucionable, y ya tiene una amplia gama de maquinaria que ha sido desarrollado para este propósito.
• Denjoy continua. Estos son los espacios que están incrustados en el torus $T^2$ que, sin llegar técnica, puede ser pensado como la extracción de un disco de el toro y, a continuación, 'estirar' el agujero alrededor del toro a lo largo de algunos geodésica con irracional pendiente (tomamos el límite de este proceso de estiramiento). Si el 'estirar' línea de Denjoy continuum $D$ pendiente $\alpha$ con la continuación de la fracción de expansión $[a_0:a_1,\ldots]$ y otro Denjoy continuum $D'$ ha estiramiento de la línea con pendiente $\beta$ y continuó fracción de expansión $[b_0:b_1,\ldots]$, $D$ es homeomórficos a $D'$ si y sólo si no existe $k$ $k'$ tal que $(a_k,a_{k+1},a_{k+2},\ldots)=(b_{k'},b_{k'+1},b_{k'+2},\ldots)$.
• Los solenoides. Estos son los inversos de los límites de los mapas de la $n$toro a sí mismo. Pueden ser totalmente clasificados por sólo teniendo en cuenta los grados de los mapas que aparecen en el límite inversa (sin tomar en cuenta el orden) hasta un número finito de eliminación de los mapas que aparecen en el límite. Este es otro resultado atribuido a Fokkink en su tesis doctoral, como con Denjoy continua.

Hay, por supuesto, muchos de los ejemplos que me han omitido, olvidado, no sabe o no sabe lo suficiente acerca de mencionar.