Las observaciones sobre la distinción entre la función y la relación es correcta, sin embargo la forma en que la prueba se ejecuta, las relaciones no son involoved, sólo las funciones. Voy a decir un par de cosas acerca de tu último párrafo:
"Por lo tanto, yo no aprehender el bloque de la citada sentencia en la prueba de
Teorema 13.7. ¿Cómo se puede x NO ser un elemento de f(x)? Por Definición 12.1,
no todos los x∈A siempre asignadas por la f?"
En un sentido, es generalmente el caso para las funciones que $x$ es no un elemento de $f(x)$. Por ejemplo, dado $f(x)=x^2$ diríamos que $2$ no es un elemento de $f(2)=4$, ya que en virtud de una interpretación sencilla de los números, no son considerados como conjuntos. Incluso en el caso de $f(1)=1$ no debemos decir que el $1 \in 1$, de nuevo ya que en una simple interpretación $1$ no es un conjunto.
[Nota: hay una "lógica" la interpretación de los números enteros no negativos, en la que cada entero es el conjunto de sus predecesores, por lo que, por ejemplo, $4=\{0,1,2,3\}.$ Con este punto de vista, uno tiene $x \in f(x)=x^2$ al $x=2$, ya que el $2$ es un predecesor de $4$. Pero esta lógica de la interpretación diría que, por ejemplo, $1$ no es un miembro de $f(1)=1$ desde $1=\{0\}$ en esta "lógica" interpretaion. Una restricción de esta lógica, la interpretación es que no se asocian a los conjuntos de los números reales distintos de números enteros no negativos.]
Así que si usted tiene, como en esta prueba, un contexto en el que la cuestión de si $x\in f(x)$ aún tiene sentido preguntar acerca de $x$ en el dominio de, al menos, debería ser el caso que, por $x$ en el dominio de la imagen de $x$ bajo $f$ debe ser un conjunto. Es decir, si $A$ es el dominio de $f$, a continuación, para cada una de las $a\in A$ la imagen $f(a)$ es un conjunto, en la prueba aquí el codominio de $f$ consiste en la colección de subconjuntos de a $A$, y estos son conjuntos, por lo que pregunta si $x \in f(x)$ específicos $x \in A$ al menos tiene sentido.
La pregunta final de la citada parte de arriba", Por Definición 12.1, no todos los $x \in A$ siempre se asigna por $f$?" tiene la respuesta "sí", simplemente porque a decir $x$ es "asignado por $f$" sólo significa que se asigna a algo. Y desde $A$ es el dominio de $f$, naturalmente, cualquier $x$ $A$ no se asignan a algo.
La cuestión es que, en la configuración de la prueba donde se ha asumido la existencia de un mapa de $f:A \to P(A)$, lo que es en si un determinado $x$ $A$ pasa a asignar a un subconjunto $f(x)$ $A$ por que sucede que $x \in f(x).$
He aquí un ejemplo sencillo en el que $A=\{1,2,3\}.$ Supongamos $f(1)=\{1,2\}$, $f(2)=\{3\}$, y $f(3)=\{1\}.$ En este caso, tenemos $1 \in f(1)$ pero $2 \in f(2)$ $3 \in f(3)$ cada uno falso.
El punto de la prueba de ello es que, sin importar cómo se establece el mapa de $f$, no puede terminar en un mapa de $A$ para el poder establecido $P(A)$. Otras respuestas (y el texto que usted cita) ya han cubierto este. Yo soy sólo el lanzamiento de estos pensamientos en respuesta, porque se expresa en los comentarios de algunos de los restantes confusión acerca de la situación, y espero que esto arroja alguna luz sobre eso.
Material añadido re. consulta en cuestión suplemento 4 de enero.
No puedo precisar por qué sigo pensando $\color{#009900}{[ a \in A ] \in f(a)}$.
No las partes verdes de Velleman la definición por encima de la media y
revelan $\color{#009900}{[ a \in A ] \in f(a)}$? Lo que soy yo
error de lectura/interpretación errónea?
Creo que lo que tienes es una confusión entre la definición técnica de $f$ como una colección de pares ordenados, en contraposición a la notación $f(a)$, que se refiere a la (única) segunda coordenada del par $(a,b) \in f$. A partir de la definición, para cada una de las $a\in A$ hay una única $b\in B$ que $(a,b) \in f$, y la notación $f(a)$ es luego usado para denotar el particular $b$. Tenga en cuenta que $b$ es no en $f$, ya que el $b$ es sólo el segundo elemento de un par ordenado en $f$.
Si uno mira a la par en particular $(a,b)$, como ocurre en la definición técnica de $f$ como una colección de pares ordenados, y reemplaza$b$$f(a)$, lo que tenemos es que
$$(a,f(a)) \in f.$$
Pero uno debe tener en mente que en esta declaración de $f$ es una colección de pares ordenados. Si decir que tengo la función de $f=\{(1,7),(2,4)\}$ podemos decir que el $(1,f(1))=(1,7)\in f.$ Pero no podemos decir que $7 \in f$ porque $7$ no es uno de los pares de $(1,7),(2,4)$ que son las únicas dos cosas en $f$. Todo lo que podemos decir es que el $7$ es la segunda coordenada de uno de los pares en $f$.
Para funciones usuales, en los que el dominio y el rango son conjuntos de números, esta confusión sería raro. Mi conjetura es que, en el presente caso, donde el rango es una colección de conjuntos, uno podría estar tentado a pensar $f(a) \in f$ siempre. Pero lo mismo sucede, por ejemplo, si $(2,\{1,2,5\}) \in f,$ todavía no podemos decir $f(2) \in f$, sólo que $f(2)$ es la segunda coordenada de un par en $f$.
Espero que esto aclare la pregunta complementaria.
