Demuestre que el Área de la imagen = Área del objeto $\cdot |\det(T)|$ ? Dónde $T$ es una transformación lineal de $R^2 \rightarrow R^2$

Question

Demostrar que el área de una imagen en $2d$ coordenadas cartesianas es igual al determinante de la transformación lineal por el área de la forma inicial.

He tratado de formular una expresión general para el área dados muchos puntos, pero me parece que es ladrar al árbol equivocado.

También lo he probado para transformaciones que son combinaciones de rotaciones y ampliaciones. Si es así, la distancia entre cada punto de la forma aumentará en una constante, que tiene que ser la misma sea cual sea la forma inicial. Así que podemos tomar un cuadrado unitario, que es el caso más fácil, y es trivial demostrar que el área resultante es $\det(T)$ . Pero como estas transformaciones estiran las longitudes en la misma constante, debe estirar las áreas en la misma constante - $\det(T)$ . Del mismo modo, ¿es posible demostrar que todas las transformaciones lineales (es decir, las cizallas y las compresiones) tienen alguna propiedad que nos permite deducir que el área de la imagen debe transformarse en alguna constante para cualquier imagen?

Answer 1

Asumiendo la transformación lineal $T$ es biyectiva (de lo contrario, la pregunta pierde su sentido) esta proposición se puede demostrar utilizando el cálculo de la siguiente manera:

Dejemos que $ U \subseteq \mathbb{R}^2 $ sea el conjunto que representa la forma inicial que será transformada por T. El área habitual de U puede definirse mediante la integral de Riemann en $ \mathbb{R}^2 $ como

$$ area(U) := \int_{ U }{ f(u) \, du } $$

donde $ f(u) = 1 $ por cada $ u \in \mathbb{R}^2 $ . Por tanto, el área de U es $ \int_{ U }{du } $ para abreviar.

Dejemos que $ dT(u) $ denota la matriz jacobiana de T en el punto $u$ . Como T es una transformación lineal, se deduce que $ dT(u) = T $ . Sin entrar en detalles, el teorema del cambio de variables para integrales múltiples implica que

$$ \int_{ T(U) }{ f(v) \, dv } = \int_{ U }{ f(T(u)) \, |det(\,dT(u)\,)| \, du } $$

Por lo tanto, el área de la imagen transformada es

$$ area(\,T(U)\,) = \int_{ T(U) }{ dv } = \int_{ U }{ |det(\,dT(u)\,)| \, du } = \int_{ U }{ |det(T)| \, du } $$

Desde $ |det(T)| $ es constante, se deduce que

$$ \int_{ U }{ |det(T)| \, du } = |det(T)| \int_{ U }{ du } = |det(T)| \, area(U) $$

Por lo tanto,

$$ area(\,T(U)\,) = area(U) \, |det(T)| $$

como queríamos mostrar.

Obsérvese que este es un resultado más general que se mantiene para $ \mathbb{R}^n $ .

Answer 2

Si - como se dice en un comentario del OP - el área está encerrada por un perímetro que conecta todos los puntos y no se cruza a sí mismo Entonces podríamos tener una imagen como esta:

Lo que podemos hacer es dibujar ( $\color{red}{red}$ ) líneas desde el origen $(0)$ a los vértices del del polígono (seis en nuestro ejemplo) y sumar las áreas de los triángulos $(0,1,2),(0,2,3),(0,3,4),(0,4,5),(0,5,6),(0,6,1)$ : véase la figura a la izquierda.
En la figura de la derecha se muestra cómo se calcula el área de uno solo de estos triángulos, utilizando un determinante: $$ \mbox{area}\,\Delta = \frac{1}{2} \det\begin{bmatrix}(x_1-x_0) & (x_2-x_0)\\(y_1-y_0) & (y_2-y_0)\end{bmatrix} $$ Obsérvese que, en general, las áreas de los triángulos así calculadas pueden ser tanto positivas como como negativas; y esto último es esencial. Ahora continuamos con las coordenadas de los vértices del polígono, en orden contrario a las agujas del reloj, para calcular el área de todo el objeto bidimensional.
Los perímetros cerrados de una imagen suelen ser los producto de un contorno procedimiento . Dichos contornos o isolíneas pueden estar orientados en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario, correspondiendo respectivamente con un área cerrada negativa o positiva. Es conveniente no destruir esa información antes de tiempo. A modo de ejemplo las áreas negativas permiten la existencia de objetos con agujeros.
En principio, el origen puede elegirse a voluntad. Pero para obtener los mejores resultados (numéricos) el centro de los vértices $\,\sum_k(x_k,y_k)/N\,$ del polígono puede ser una buena opción.

Es fácil demostrar la conjetura del OP para un de estos triángulos. Uno de los vértices está situado en el origen, toma $\,(x_0,y_0) = (0,0)$ . Por lo tanto, el triángulo está definido por dos vectores columna, que se pueden resumir en una matriz. Y el área de ese triángulo es la mitad del determinante de esa matriz, como hemos visto. Simbólicamente: $$ \Delta = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{bmatrix} $$ Ahora dejemos que la transformación esté dada por: $$ T = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} $$ Entonces el triángulo deformado se representa por: $$ \Delta' = \begin{bmatrix} x'_1 & x'_2 \\ y'_1 & y'_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax_1+by_1 & ax_2+by_2\\ cx_1+dy_1 & cx_1+dy_2\end{bmatrix} $$ El área deformada, para un triángulo, es: $$ \frac{1}{2} \det\begin{bmatrix} x'_1 & x'_2 \\ y'_1 & y'_2 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \det\left(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{bmatrix}\right) = \det(T)\left(\mbox{area}\,\Delta\right) $$ Y para todas las áreas triangulares sumadas: $$ \sum_\Delta \left(\mbox{area}\,\Delta\right) \det(T) = \det(T) \sum_\Delta \left(\mbox{area}\,\Delta\right) = \mbox{Area of object} \cdot \det(T) $$ Casi como una conjetura. Es no Sin embargo, se garantiza que $\det(T)$ es positivo y que se puede tomar el valor absoluto del determinante, a menos que se especifique explícitamente para la transformación $T$ . Por ejemplo, si tenemos un reflejo en el eje Y: $$ T = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \quad \Longrightarrow \quad \det(T) = -1 $$ Si nuestro perímetro ha sido contrario a las agujas del reloj, entonces se convierte en las agujas del reloj, y el área positiva del original se transforma en un área negativa. Deberíamos poner $\;\left|\det(T)\right|\;$ en lugar de ello de $\;\det(T)\;$ sólo si se decide que el signo del área de un objeto no es relevante.