Curva normal tras el cambio de base (p > 0)

Question

Supongamos que $C$ es una curva proyectiva normal sobre algún campo base $k$ , posiblemente de característica positiva. Me pregunto hasta qué punto se puede modificar el campo base $k$ sin frenar la regularidad de $C$ . Entonces, en particular, ¿se permite una extensión separable (o tal vez generada separadamente)?

Mi caso de uso exacto sería $k\subset K=K(C)$ Así que $K$ es el campo de funciones de la propia curva. Además, podemos suponer que $k$ es algebraicamente cerrado en $K$ .

Answer 1

Esto es cierto para una extensión de campo separable. De hecho, esto funciona de forma más general que las curvas. Si $X$ es cualquier esquema normal sobre $k$ y $K/k$ es una extensión de campo separable, entonces $X_K$ es normal. Esbozaré esta prueba con las referencias apropiadas a los resultados técnicos del Proyecto Stacks.

La normalidad es una condición local por lo que podemos suponer $X$ es un esquema afín $\operatorname{Spec}A$ donde $A$ es una normal $k$ -Álgebra. Dado que $K/k$ es una extensión separable entonces por Lema 10.145.10 existe una solución suave $k$ -Álgebra $B$ cuyo campo de fracción es $K$ . Podemos cambiar de base el morfismo $k \to B$ por $A$ para obtener un morfismo $A \to B \otimes_k A$ . Desde $B$ es suave y la suavidad se mantiene con el cambio de base ( Lema 10.130.4 ), $A \to B \otimes_k A$ es suave. Por Lema 10.1 , $A \otimes_k B$ es normal ya que $A$ es normal y la normalidad asciende a lo largo de morfismos suaves. Finalmente, $A \otimes_k K$ es una localización de $A \otimes_k B$ desde $K$ es una localización de $B$ . Así, $A \otimes_k K$ es la localización de un anillo normal por lo que es normal.

Para un ejemplo de cómo esto falla para extensiones inseparables, dejemos $k = \mathbb{F}_3(t)$ donde $t$ es un trascendental. Consideremos la curva plana $X/k$ dado por $y^2z+x^3−tz^3 = 0$ . Entonces $X$ es regular. Sin embargo, tras la ampliación de la base a $K = \mathbb{F}_3(\sqrt[3]{t})$ , $X$ se vuelve singular con la normalización $\mathbb{P}^1$ . Este ejemplo es la observación 16 aquí .

Edición: Para las curvas, normal es lo mismo que regular. Sin embargo, esto no es cierto en general, por lo que podemos preguntarnos si la regularidad se mantiene bajo un cambio de base separable. La respuesta es sí y la prueba es exactamente la misma que la anterior para la normalidad. Resulta que la regularidad también asciende a lo largo de morfismos suaves ( Lema 10.149.8 ), y todo lo demás en la prueba anterior pasa.

Para dar una respuesta totalmente completa a su pregunta, podemos pedir lo siguiente $X/k$ hace $X$ permanecer regular después de que la base se extienda a cualquier extensión de campo $K/k$ ? Podemos llamarlo geométricamente regular. Por tu pregunta anterior sabes que esto es cierto si $X$ es suave. Resulta que esto es un si y solo un si en cualquier caso razonablemente geométrico. En concreto ( Lema 32.10.6 ), si $X$ es de tipo finito sobre $k$ entonces $X$ es geométricamente regular si y sólo si $X/k$ es suave.