¿Es esta propiedad?

Question

Supongo que $f$ es una función continua en el compacto conjunto de $[0,1]$. Es cierto que dado el $\epsilon>0$, existen $\delta>0$ tal que para cualquier partición $P=\{x=x_0<x_1,...,<x_{i-1}<y=x_i\}$ % intervalo $[x,y]$, $|x-y|<\delta$, tenemos que $$\sum_{n=1}^i|f(x_n)-f(x_{n-1})|<\epsilon$ $

Answer 1

Considerar la función

$$ f (x) =\begin{cases} 0,&\text{if }x=0\\ x\sin\frac1x,&\text{if }0<x\le 1\;; \end{casos} $$

claramente $f$ es continuo, pero se puede hacer

$$\sum_{n=1}^i|f(x_n)-f(x_{n-1})|$$

tan grande como usted como cuando $x=0$, incluso si $y$ es muy pequeña: Si usted elige la partición derecha, esencialmente estás sumando términos de la serie armónica.

Answer 2

No en general. Cada función continua que no es de variación acotada proporciona un contraejemplo.

Si $f$ no es de variación acotada, entonces para todos los $\delta>0$, existe un intervalo de $[x,y]\subset [0,1]$ $|x-y|<\delta$ y existe una partición de $P=\{x=x_0<x_1,...,<x_{i-1}<y=x_i\}$ tal que $\sum_{n=1}^i|f(x_n)-f(x_{n-1})|>1$. Esto puede ser visto por romper $[0,1]$ en un número finito de intervalos de longitud de menos de $\delta$, debido a $f$ no han delimitado variación en todos estos sin haber variación acotada en el intervalo completo.

Esta propiedad está implícita en la más absoluta continuidad, pero no a la inversa. E. g., cada monotono función continua que satisface esta propiedad, pero no tiene que ser absolutamente continuas (por ejemplo, el Cantor-Lebesgue de la función).

Answer 3

No, no es absolutamente continua la función $f(x) = x \sin(1/x)$, $f(0)=0$

Answer 4

Pero la función $x\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ no tiene variación acotada y es continua en $[0,1]$.