¿Es viable esta derivación de la entropía del agujero negro?

Question

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Supongamos $l$ es el mínimo medible unidad de longitud. ¿Qué es la entropía de un spinless de partículas contenidas en este intervalo?

Sabemos que la entropía de un sistema de dos niveles depende de las probabilidades de los respectivos niveles, si la probabilidad de que el estado 0 es $p_0$, entonces la entropía (en unidades naturales) es:

$$S= -\sum_{i=0}^1 p_i \ln p_i = -p_0 \ln p_0 - (1 - p_0) \ln (1 - p_0)$$

Así que si $p_0=1/2$$S=\ln 2\: \mathrm{nat}$, igual a $1\: \mathrm{bit}$. Una partícula que tiene el máximo en el medio tiene la entropía de $1\: \mathrm{bit}$ (es igualmente probable para medirse a la derecha y a la izquierda de la media).

Ya que no podemos medir intervalos más pequeños que $l$, no podemos hacer conjeturas acerca de que el máximo de la probabilidad de que la partícula se encuentra. Como tal, si asumimos que la partícula es igual de probable que el máximo de la probabilidad en cualquier punto en el intervalo de $x\in[0,l]$, el total de la entropía se convierte en $$S=\int_0^l \frac{-(1-\frac xl) \ln (1- \frac xl)-\frac xl \ln (\frac xl)}{l} \, dx=\int_0^1 -(1-x) \ln (1-x)-x \ln (x) \, dx=\frac12$$

Una entropía de un similar de partículas contenidas en un cuadrado con lado de la $l$ será dos veces más, que es $1\: \mathrm{nat}$.

Ahora bien, si asumimos que $l=2l_p$ donde $l_p$ es la longitud de Planck, llegamos que tal spinless partícula tiene una entropía de $1\: \mathrm{nat}$ 4 plaza de la longitud de Planck o $1/4\: \mathrm{nat}$ para una plaza de la longitud de Planck.

Por lo tanto, de la única suposición que el doble de la longitud de Planck es el mínimo medible intervalo, y doble el cuadrado de la longitud de Planck se espera que contienen partículas de 1 en promedio, se llega al valor estándar del Agujero Negro de la entropía en nats:

$$S=\frac{A}{4l_p^2}=\frac14 A_p$$

Donde $A_p$ es el área en unidades de Planck.

A veces me encontré con una afirmación de que la unidad fundamental de información es de 1 bit. De las consideraciones anteriores se deduce que, posiblemente, la unidad fundamental es 1/2 (o 1 o 1/4) de nat.

ACTUALIZACIÓN

Tenga en cuenta que la distancia de a $2l_p$ entre dos partículas es natural, si asumimos que las partículas son planckons, cuyo radio es la longitud de Planck $l_p$. Como tal, el Agujero Negro puede ser visto como una cáscara esférica que consta de una capa de planckons.

Answer 1

El cálculo es muy interesante (nunca me di cuenta antes de que salga a $1/2\:\mathrm{nat}$!). Quizás, de hecho tienen una interpretación en términos de los agujeros negros, pero creo que no funciona exactamente de la manera que usted dice, porque en realidad estás calculando un condicional de la entropía en lugar de una entropía.

Veamos el cálculo puramente en términos de la teoría de la probabilidad. Deje $X$ ser una variable aleatoria continua tomando valores en $[0,1]$ (he asimilado por $l$ por simplicidad), y deje $M$ ("medida") sea una variable aleatoria discreta toma valores en $\{0,1\}$.

Aquí, $X$ stands para la posición de la partícula, pero sólo para el pico de la función de onda. Sus supuestos corresponden a $(i)$ el marginal para $X$ es distribuido uniformemente sobre $[0,1]$, e $(ii)$ la probabilidad condicional de a $p(M=1\mid X=x) = x$. (Estado suposición $(i)$ explícitamente en la pregunta, y el uso de $(ii)$ implícitamente en la escritura de la segunda ecuación en tu post.) La distribución conjunta es, por tanto, dada por $$p(M=i,X=x) = p(M=i\mid X=x)p(X=x) = \left\{ \begin{array}{ll} xdx &\text{if $i=1$}\\ (1-x)dx & \text{if $i=0$,}\end{array} \right.$$

Para un par de conjunta de variables aleatorias distribuidas $A$$B$, la distribución marginal de $A$ está dado por $p(A=a) = \sum_b p(A=a,B=b)$. En esta se convierte en una integral: $$p(M=1) = \int_0^1 p(M=1, X=x) = \int_0^1 x dx = 1/2.$$

Ahora, la entropía de Shannon $M$ condicionado a $X$ tener algún valor particular $x$ está dado por $-\sum_{i\in\{0,1\}}p(M=i\mid X=x) = -(1-x)\log (1-x) - x\log x$. El condicional de la entropía se define como $H(A|B) = \sum_b p(B=b)H(A\mid B=b)$, que en este caso se convierte en una integral: $$ H(M|X) = -\int_0^1 dx((1-x)\log (1-x) + x\log x), $$ en el que se evalúa a $1/2\:\mathrm{nat}$ como usted dice.

Sin embargo, la entropía utilizamos en la física es la entropía de von Neumann, que corresponde no a una condicional de la entropía, pero a la marginal de la entropía de la medición (suponiendo que estamos midiendo en un eigenbasis.) En el sistema se da a través de $$H(M) = -\sum_i p(M=i)\log p(M=i) = -\log(1/2) = 1\:\mathrm{bit}.$$

Así que (de nuevo, suponiendo que esta es una medida en un eigenbasis, que va a ser si la entropía es maximizada, ya que todas las bases están eigenbases en ese caso) la entropía de von Neumann de acuerdo a su hipótesis es $1\:\mathrm{bit}$, no $1/2\:\mathrm{nat}$. Una partícula confinada a un cuadrado de la longitud de la $l$ tienen una entropía de von Neumann $\log(4) = 2\:\mathrm{bits}$, ya que puede ser medido en cualquiera de las cuatro esquinas.