Suma de los elementos de la matriz inversa

Question

Supongamos una matriz A de NxN de valores complejos. Quiero calcular la suma de todos los elementos de su inversa. ¿Alguien tiene alguna idea de cómo hacerlo? El problema es que calcular la inversa es costoso computacionalmente y como sólo busco la suma de sus elementos, pensé que podría haber algo más inteligente que hacer.

Nota: la parte real de A es diagonal mientras que la imaginaria es una matriz en bloque de 2x2 de submatrices simétricas.

Gracias

Answer 1

Dejemos que $\vec{1}$ denota el vector cuyas entradas son todas $1$ . Utilice la eliminación gaussiana (o, mejor, una biblioteca de matrices rápida con la eliminación gaussiana ya implementada para usted) para resolver $$A \vec{v} = \vec{1}.$$ Entonces el producto punto $\vec{1} \cdot \vec{v}$ será igual a $\vec{1}^T A^{-1} \vec{1}$ que es lo que quieres. Una implementación rápida de la eliminación gaussiana debería superar a una implementación rápida de la inversa de la matriz.