El operador de campo en curva el espacio-tiempo puede ser ampliado como
$$\hat{\phi}(x)=\sum_{n}\left(\hat{a}_n f_n(x)+\hat{a}^\dagger _n f^* _n (x)\right)$$ where $f(x)$ is the positive frequency mode and $f^*(x)$ is the negative frequency mode. We define the vacuum state as $\hat{a}_n \left|0\right>_a=0$ But we can choose a different set of positive and negative frequency modes, and an expansion $$\hat{\phi}(x)=\sum_{n}\left(\hat{b}_n h_n(x)+\hat{b}^\dagger _n h^* _n (x)\right)$$ Now the vacuum would be define as $\hat{b}_n \left|0\right>_b=0$. The mode functions $f_n$ are normalized $(f_m,f_n)=\delta_{m n}$, $(f_m,f^*_n)=0$ and $(f^*_m,f^*_n)=-\delta_{m n}$. From the two different expansions of $\hat{\phi}$ tenemos
$$\sum_{n}\left(\hat{a}_n f_n(x)+\hat{a}^\dagger _n f^* _n (x)\right)=\sum_{n}\left(\hat{b}_n h_n(x)+\hat{b}^\dagger _n h^* _n (x)\right)$$
Tomando el interior del producto con $f_n$ a cada lado, obtenemos
$$\hat{a}_m=\sum_n (h_n,f_n)\hat{b}_n+\sum_n (h^*_n,f^*_n)\hat{b}^\dagger_n \equiv \sum_n \alpha_{m n}\hat{b}_n + \sum_n \beta_{m n}\hat{b}^\dagger_n$$
Así, el vacío de $\left|0\right>_a$ satisface
$$0=\hat{a}_m \left|0\right>_a=\left(\sum_n \alpha_{m n}\hat{b}_n + \sum_n \beta_{m n}\hat{b}^\dagger_n\right)\left|0\right>_a$$
Si suponemos que hemos tenido un solo modo, con una relación
$$\left(b+\gamma b^\dagger\right)\left|0\right>_a=0$$
La solución a esta ecuación es de la forma:
$$\left|0\right>_a=Ce^{\mu \hat{b}^\dagger \hat{b}^\dagger}\left|0\right>_b$$
Donde $C$ es una constante de normalización y $\mu$ es un número.
Mi pregunta es cómo se puede obtener la solución de la ecuación :
$$\left(b+\gamma b^\dagger\right)\left|0\right>_a=0$$
Respuesta
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En una verdadera general el espacio-tiempo, eligiendo "el" correcto estado de vacío es, básicamente, no es posible (debido a que la pregunta no tiene sentido). Si alguien te entrega un estado puede decirles cómo que el estado va a evolucionar en el tiempo, pero no hay ningún vacío del estado a favor. Nota esto es más o menos cierto, también, de la clásica de campos en la curva el espacio-tiempo; en general, el espacio-tiempo que no hay un único resto marco de un fluido.
Cuando trabajamos un poco, sin embargo, a menudo podemos elegir preferido vacua el uso de una combinación de matemáticas y física de las consideraciones. El ejemplo más obvio es el espacio-tiempo de Minkowski. De ahí, tenemos una buena razón para tratar la habitual inercia-marco de descomposición en modos de Fourier como especial, porque
- observamos la "inercia" de los detectores de partículas no haga clic en;
- estos modos tienen una relación especial con uno de los timelike Matar a los vectores (ver, por ejemplo, Birrell y Davies)
Más convincente, sin embargo, cuando el Hamiltoniano está escrito en términos de estos modos, el vacío de estado (el estado, que es aniquilada por la aniquilación del operador) se relaciona con el espectro del Hamiltoniano de la manera que estamos acostumbrados en nuestros estudios de la teoría cuántica:
- El vacío es también el más bajo de energía eigenstate de la Hamiltoniana.
- Cuando la creación operador actúa en el vacío, el resultado es otro eigenstate de la Hamiltoniana.
En general, el espacio-tiempo, estas propiedades no pueden ser satisfechas por cualquier vacío de la elección. En un momento de la evolución espacio-tiempo, por ejemplo, el vacío no es un estado estacionario de la Hamiltoniana, que es una forma de ver el resultado "producción de partículas".
Podemos extender esta especialidad un poco a spacetimes que son al menos asintóticamente plana, comparando con la vacua que tienen los de arriba, en las propiedades asintóticas de las regiones.
