¿$a_n=\prod^n_{k=1}(1-e^{k\alpha \pi i})$ Convergen a cero cuando $\alpha$ es irracional?

Question

Me encontré con un problema relativo a la convergencia de los productos. Me gustaria saber si el complejo de la serie $a_n=\prod^n_{k=1}(1-e^{k\alpha \pi i})$ converge a cero cuando $\alpha$ es irracional. Por supuesto, el producto infinito no converge para cualquier número distinto de cero.

Parece que el comportamiento del $e^{k\alpha \pi i}$ no es muy "predecible". No tengo ni idea de cómo abordar este problema. ¡Gracias de antemano!

Answer 1

Escriba $a_n(\alpha)$ hacer hincapié en la dependencia de $\alpha$. Cualquier $\epsilon > 0$, $U(n,\epsilon) = \{\alpha: |a_n(\alpha)| < \epsilon\}$ es un conjunto abierto que contiene incluso $k/m$ para cualquier enteros $k,m$ $k$ $1 \le m \le n$. Así $\cup_{n \ge N} U(n,\epsilon)$ es un conjunto abierto denso y $\cap_{m \in \mathbb N} \cap_{N \in \mathbb N} \cup_{n \ge N} U(n, 1/m)$ es un denso $G_\delta$. Concluimos que hay uncountably muchos irracionales $\alpha$, que $\liminf_{n \to \infty} |a_n(\alpha)| = 0$. Sin embargo, no veo una manera de obtener real convergencia a $0$ % irracional $\alpha$.

Answer 2

No tengo idea de cómo abordar el problema general, pero aquí hay una rápida observación:

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A. Vamos a $\alpha = 2\beta$, de modo que $\beta$ es irracional si y sólo si $\alpha$ es así. Definir $f$$f(x) = \log|2\sin\pi x|$. Entonces

$$ \log \left| \prod_{k=1}^{n} (1 - e^{\pi k i \alpha} ) \right| = \sum_{k=1}^{n} f(k\beta). $$

Ahora por la de Riemann-integrable criterio para equidistributed secuencias, para cualquier $R$ sabemos que

$$ \varlimsup_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f(k\beta) \leq \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \max\{ f(k\beta), -R \} = \int_{0}^{1} \max\{f(x), -R\} \, dx. $$

Tomando $R \to \infty$, obtenemos

$$ \varlimsup_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f(k\beta) \leq \int_{0}^{1} f(x) \, dx = 0. \tag{1} $$

En vista de (1), si la secuencia de $(k\beta \text{ mod } 1 : k \geq 1)$ es muy uniformemente distribuidas en $\Bbb{R}/\Bbb{Z}$, incluso esperamos que la igualdad en (1). Para mí, parece sugerir que necesitamos algo de difícil análisis.

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B. Deje $\beta$ a ser como antes, y escribir $ n\beta = p_n + \epsilon_n$ donde$p_n \in \Bbb{Z}$$|\epsilon_n| < 1/2$. También, vamos a considerar sólo$n$, que es récord de índices para $|\epsilon_n|$ en el sentido de que $|\epsilon_k| > |\epsilon_n|$ todos los $k < n$.

Denotamos $a_n (\beta) = \left| \prod_{k=1}^{n} (1 - e^{2\pi i k \beta} ) \right|$ y, a continuación, reclamo las siguientes:

La reclamación. Existe constantes $C_1, C_2 > 0$ tal que para todos los irracionales $\beta$, y para todos los récord $n$, $$ a_n(\beta) \leq C_1 |\epsilon_n| n \exp( C_2 |\epsilon_n| n \log n ). $$

• En vista de la Dirichlet teorema de aproximación, sabemos que $n|\epsilon_n| < 1$. Esto le da a $a_n(\beta) \leq C_1 n^{C_2}$.

• Si (una larga de) $|\epsilon_n|$ decae al menos tan rápido como $1/(n\log n)$, luego tenemos a $\liminf_n a_n = 0$. En particular, para cualquier número $\beta$ con irracional medida mayor que 2, esto es cierto. Desafortunadamente, la mayoría de los números interesantes son bien probado o que se espera que la irracionalidad de la medida 2, por lo que este no dice nada de nada sobre el OP pregunta.

Ahora vamos a $\tilde{\beta}_n = p_n / n$. Por razones de brevedad, se eliminan los subíndices de $p_n$, $\epsilon_n$ y $\tilde{\beta}_n$ cada vez que no surge la confusión. A continuación, usando la relación $|1 - e^{2ix}| = 2|\sin x|$ cualquier $x \in \Bbb{R}$, podemos escribir

\begin{align*} a_n(\beta) &= 2|\sin (\pi n \beta)| \left| \prod_{k=1}^{n-1} (1 - e^{2\pi i k \tilde{\beta}} ) \right| \left| \prod_{k=1}^{n-1} \frac{\sin(\pi k \beta)}{\sin(\pi k \tilde{\beta})} \right| \\ &= 2n|\sin(\pi \epsilon)| \prod_{k=1}^{n-1} \left| \frac{\sin(\pi k \tilde{\beta} + \pi k \epsilon / n)}{\sin(\pi k \tilde{\beta})} \right| \\ &= 2n|\sin(\pi \epsilon)| \prod_{k=1}^{n-1} \left| \cos(\pi k \epsilon / n) + \cot(\pi k \tilde{\beta}) \sin(\pi k \epsilon / n) \right| \tag{2} \end{align*}

En el segundo paso, la siguiente observación se utiliza.

Lema 1. Si $n$ es récord, a continuación, $n$ $p_n$ son coprime.

Prueba. Asumir lo contrario. Escribir $n = d\tilde{n}$$p_n = d\tilde{p}$$d = \gcd(n, p_n) > 1$. A continuación, $\tilde{n}\beta = \tilde{p} + (\epsilon_n / d)$ e lo $|\epsilon_{\tilde{n}}| = |\epsilon_n| / d < |\epsilon_n|$, contradiciendo la suposición de que $n$ es de récord. ////

Desde $n$ $p$ son coprime, sabemos que $\{ p, 2p, \cdots, (n-1)p \} \equiv \{1, 2, \cdots, n-1 \} \pmod n$. En particular, por permuting los índices que hemos

$$ \prod_{k=1}^{n-1} |1 - e^{2\pi i k p / n}| = \prod_{k=1}^{n-1} |1 - e^{2\pi i k / n}| = n. $$

También notamos que

$$\sum_{k=1}^{n} |\cot(\pi k / n)| = \mathcal{O}(n \log n). \tag{3} $$

Esto se deduce de la desigualdad de $\cot x \leq 1/x$$(0, \pi/2]$. La combinación de estas observaciones, podemos obligado el producto plazo de (2). En efecto, es claro que $|\sin(\pi k \epsilon / n)| \leq \pi |\epsilon|$ cualquier $1 \leq k \leq n$. Así

\begin{align*} \prod_{k=1}^{n-1} \left| \cos(\pi k \epsilon / n) + \cot(\pi k \tilde{\beta}) \sin(\pi k \epsilon / n) \right| &\leq \prod_{k=1}^{n-1} ( 1 + \pi |\epsilon| |\cot(\pi k \tilde{\beta})| ) \\ &\leq \exp \left( \sum_{k=1}^{n-1} \pi |\epsilon| |\cot(\pi k / n)| \right) \\ &\leq e^{C|\epsilon|n \log n}. \end{align*}

Aquí, hemos utilizado el Lema de 1 a reorganizar el producto y, a continuación, usa (3) para acotar el exponente. Esto le da a la deseada límite superior de la Demanda.