Límite inferior

Question

Estaba tratando de entender la prueba de un teorema, y el autor utiliza el hecho de que si $y \in \mathbb{Q} \cap(0, \frac{1}{2}]$, luego

$$2\sin^2(y\pi) \geq \frac{8}{n^2},$$

donde$y=\frac{p}{q}$,$\gcd(p,q)=1$$n \in \mathbb{N}, n \geq q$.

Puedo "ver" es cierto, porque la más cercana a $y$ $\frac{1}{2}$ más cerca de $1$, $\sin^2(y\pi)$ consigue, y el más cercano a $0$ $y$ es, más cerca $\pi\frac{p}{q}$ $\sin^2(y\pi)$ es, sin embargo, si $\pi\frac{p}{q}$ está cerca de a$0$, $q$ debe ser grande, y, a continuación, $\frac{4}{n^2}$ va a ser muy pequeño, más pequeño, a continuación, $\sin^2(y\pi)$ debido a que el término cuadrático...

Pero no puedo probar esto formalmente ... alguien Puede dar un poco de ayuda? :)

Gracias!

Answer 1

En primer lugar, porque es cóncavo en $\sin \pi y$ $(0,1/2]$, tenemos $$\sin \pi y\geq 2y,\quad\text{for }y\in(0,1/2].$ $ este cuadro ilustra este paso:

Entonces, ya que ambas funciones son no negativos en $(0,1/2]$, cuadratura de ambos lados los rendimientos a $$\sin^2\pi y\geq 4y^2=\frac{4p^2}{q^2}\geq\frac{4}{q^2}\geq\frac{4}{n^2}.$ $ multiplique ambos lados por $2$ y listo.

Answer 2

Desde el lado de la mano izquierda es una función creciente de $y$ en el conjunto de $(0, \frac{1}{2}]$, es suficiente para demostrar que el reclamo por $p = 1$, y desde el lado de la derecha disminuye con el aumento de la $n$, es suficiente para demostrar que el reclamo por $n = q$. De hecho, bien podríamos probar la correspondiente reclamación de los números reales:

$\sin^2 \left(\dfrac{\pi}{x}\right) \geq \dfrac{4}{x^2}$ $x$ tal que $\frac{1}{x} \in (0, \frac{\pi}{2}]$

o, de manera equivalente, sustituyendo $x = \frac{1}{t}$, que

$\sin^2 (\pi t) \geq 4 t^2$ $t \in (0, \frac{1}{2}]$,

o que

$\sin(\pi t) \geq 2t$ en dicho intervalo.

Ahora, $\sin(\pi (0)) = 0 = 2(0)$$\sin\left(\pi \left(\frac{1}{2} \right) \right) = 1 = 2\left(\frac{1}{2}\right)$, por lo que los dos lados de la desigualdad de lo acordado en los extremos de $[0, \frac{1}{2}]$. Su diferencia $\sin(\pi t) - 2t$ es cóncava hacia abajo en el intervalo, por lo que la desigualdad se cumple allí.