Demostrar que el solo principal triple es 3, 5, 7

Question

Probar que el único primer triple es $3,5,7$.
He intentado probar el uso de este método: la Multiplicación de los $3$ saltos atrás y adelante entre ser un uniforme y un número impar. Así va desde impar impar en un intervalo max size 6, y al igual que la de incluso hasta. En cualquier caso, estos tendrán los siguientes tipos: (par - impar - par - impar - par - impar) y (impar - par - impar - par - impar - impar), con 3 ser un múltiplo de la primera instancia en las combinaciones. En ambas combinaciones, la primera y la cuarta sería divisible por tres, dejando sólo dos primos a la izquierda (dos números impares). Por lo tanto el único triple prime puede ser una combinación de los tres es considerado como un primer....
Sin embargo, es esta una prueba formal? ¿alguien puede decirme cómo hacer una prueba de este tipo de preguntas?

Answer 1

Cada número entero no negativo $n$ puede escribirse en la forma $n=6x+k$, donde $x$ es un entero no negativo y $k\in\{0,1,2,3,4,5\}$

$n=6x,6x+2,$ $6x+4 \implies 2\mid n$, mientras que $n=6x$ o $6x+3 \implies 3\mid n$, que deja sólo $n=6x+1$ y $n=6x+5=6(x+1)-1$ para los números enteros mayores que $3$ y no divisibles por $2$ o $3$, y como un especial caso para los números enteros mayores que $3$ y no divisible por alguno más pequeño es decir, prime primes,

así $p\in \Bbb P$ tal que $p>3$,

$p+2 \in \Bbb P \implies p=6x+5 \implies p+4=6(x+1)+3 \implies 3\mid p+4$.