Cuádricas son birracional a espacio proyectivo

Question

Mostrar todos (irreducible) cuadrática en $\mathbb{P}^n$ es birracional a $\mathbb{P}^{n-1}?$

Es fácil trabajar en ejemplos, como el $xt-yz=0$ $\mathbb{P}^3$ donde primero proyectamos lo $\mathbb{P}^2$ $[0:0:0:1]$ $[x:y:z:t] \mapsto [x:y:z]$ y $[x:y:z] \mapsto [x^2:xy:xz:yz],$ da el inverso mapa racional (dominante) pero no sé cómo construir el mapa inverso para un general cuadrática!

Answer 1

Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado $k$ % característico $\neq 2$cada % cuádrica irreducible $Q\subset \mathbb P^n_k$tiene ecuación $q(x)=x_0x_1+x_2^2+...+x_n^2=0$ en coordenadas adecuados.
Proyecta desde $p=(1:0:0:\cdots:0)\in Q$ % hiperplano $H\subset \mathbb P^n_k$$x_0=0$de la ecuación dará el isomorfismo requiere birracional.
Explícitamente, la proyección es birracional mapa $$\pi: Q--\to H:(a_0:a_1:\cdots:a_n)\mapsto (0:a_1:\cdots:a_n)$ $ usted puede calcular el inverso mapa racional y encontrar

$$\pi^{-1}:H--\to Q:(0:a_1:\cdots:a_n) \mapsto (-(a_2^2+\cdots +a_n^2):a_1\cdot a_1:\cdots:a_1\cdot a_n)$$