Crear una pregunta que utilice el $\epsilon$ - $\delta$ definición para demostrar que $f$ es una función continua

Question

Sea $f:\Bbb R\backslash \{1 \} \to \Bbb R$ se define por $f(x)= \frac{1}{(1-x)}$ . Utilice el $\epsilon$ - $\delta$ definición para demostrar que $f$ es una función continua.

No necesito respuestas para ello. Quiero vuestra ayuda para retorcer un poco las preguntas con el objetivo de conseguir otra serie de preguntas con más dificultad o dificultad similar y que requiera de diferentes trucos para resolver las preguntas. Por favor, proporcione las respuestas y la explicación también.

Answer 1

El caso general de los polinomios no es difícil de entender, sólo engorroso de escribir. Haré aquí el esbozo de un ejemplo particular, con la explicación completa.

• Para todos $a \in \Bbb R$ : $$\lim_{x \to a} x^3 + 3x^2 - 5x + 1 = a^3 + 3a^2 - 5a + 1 $$

Boceto: queremos encontrar $\epsilon$ tal que la diferencia entre el polinomio y el límite sea menor que $\epsilon$ . Si el límite es correcto, $|x - a|$ siempre será un factor de diferencia. Averigüemos aquí lo que debemos imponer a $\delta$ para conseguir lo que necesitamos. Lo tenemos: $$\begin{align} |x^3 + 3x^2 - 5x + 1 - (a^3 + 3a^2 - 5a + 1)| &= |x^3 - a^3 + 3(x^2 - a^2) -5(x - a)| \\ &= |(x - a)(x^2 + ax + a^2) + 3(x-a)(x+a) - 5(x-a)| \\ &= |(x^2 + ax + a^2) + 3(x+a) - 5||x - a| \end{align}$$ Ahora, párate a pensar. Necesito atar las cosas que se multiplican $|x - a|$ . Qué desigualdades ¿Lo sé? Bueno, siempre está la desigualdad del triángulo, así que, ¿por qué no? $$ \leq \left(|(x^2 + ax+ a^2)| + |3(x + a)| + |-5| \right)|x - a|$$ Parece un poco mejor. Pero, ¿por qué no hacerlo de nuevo? $$\leq \left( |x^2| + |a||x| + a^2 + 3|x| + 3|a| + 5 \right)|x-a|$$ Ahora, hay un problema. Simplemente no puedo tener $\delta$ en función de $x$ . ¡Está variando! Pero, si pudiera encuadernado $|x|$ de alguna manera, ¡mi problema estaría resuelto! Sin embargo, hay otra desigualdad que es útil, y todo el mundo debería tenerla a mano: $$|x| - |a| \leq |x - a| < \delta $$ lo que implica que $|x| < \delta + |a|$ . Bueno, ciertamente podría suponer que $\delta$ es, digamos, menor que $1$ . ¿Por qué? Dado $\epsilon > 0$ Debo encontrar $\delta = \delta(\epsilon, a) > 0$ tal que yadda yadda yadda (ponga aquí la definición del límite). Lo que quiero decir es que $\tilde{\delta} < \delta$ también funcionará. Supongamos $\delta < 1$ . Esto da $|x| < 1 + |a|$ . Volviendo a nuestra cadena de desigualdades, obtenemos: $$\begin{align} &\leq \left( (1 + |a|)^2 + |a|(1 + |a|) + a^2 + 3(1+|a|) + 3|a| + 5 \right) |x - a| \\ &= \left(8 + 9|a| + 3a^2 \right) |x - a| \\ &\leq (8 + 9|a| + 3a^2) \cdot \delta \end{align}$$ Ahora, no importa lo feo que sea, $8 + 9|a| + 3a^2$ es un número fijo. Observe que todas esas expresiones serán bastante sencillas, una vez dado un valor para $a$ . Ahora, ¿qué debería $\delta$ ser, si quisiera dar un paso más? $$(8+ 9|a| + 3a^2) \cdot \delta < \epsilon$$ Ciertamente $\delta < \frac{\epsilon }{8 + 9|a| + 3a^2}$ ¡hará el trabajo! Sin embargo, debemos tener cierto cuidado aquí. ¿Qué más hemos supuesto en nuestro camino para llegar aquí? Que $\delta < 1$ también, ¿no? Si quiero todo que sostener, debo elegir: $$\delta <\min \bigg\{1, \frac{\epsilon}{8 + 9|a| + 3a^2} \bigg\} $$

Y nunca debemos olvidar que una prueba más formal comenzaría con:

Sea $\epsilon > 0$ y $x \in \Bbb R$ tal que $|x - a| < \delta $ . Elija $\delta \leq \min \big\{ 1, \frac {\epsilon}{8 + 9|a| + 3a^2} \big\}$ . Entonces tenemos $$| \cdots - \cdots| \leq \cdots \leq \cdots \leq \cdots \leq \epsilon $$

Aquí, estos $\cdots$ son sólo las desigualdades que hice en el boceto.

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Una observación que considero importante: ¿y si hubiéramos más más de un factor $|x - a|$ ? ¿Deberíamos atarlos a todos con $\delta $ ? Mi respuesta es no . Ciertamente no queremos trabajar con $\sqrt{\epsilon}, \sqrt[5]{\epsilon}$ y cosas así. Usted limita sólo uno de los factores $|x - a|$ con $\delta$ y las otras las resuelves con la desigualdad del triángulo + $|x| < 1 + |a|$ combo. Ejemplo:

• Demostrar que $\lim_{x \to 1} x^2 - 2x + 1 = 0$ utilizando el $\epsilon - \delta$ definición.

Boceto: tenemos $|x - 1| < \delta$ y queremos $|x^2 - 2x + 1| < \epsilon$ . Supongamos que $\delta < 1 $ . Por aquí, $|x| < \delta + 1 < 2$ . Por fin: $$\begin{align} |x^2 - 2x + 1| &= |(x-1)^2| \\ &= |x - 1||x - 1| \\ &\leq (|x| + 1) \cdot \delta \\ &\leq 3 \delta \end{align}$$

Así que $\delta <\min \big\{ 1, \frac{\epsilon}{3} \big\}$ es la solución a este problema.

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Esta estrategia funciona de maravilla para polinomios en varias variables. El único problema es que los cálculos se vuelven una locura, la probabilidad de cometer un error aritmético es demasiado alta, lo que hace casi inviable ponerla en práctica. Afortunadamente aquí tenemos teoremas de continuidad que nos salvan la vida. La idea sería la misma, acotar todas las variables una a una, como en: $$|x_1| < \delta + |a_1| \\ |x_2| < \delta + |a_2| \\ {}{}{}\vdots \\ |x_n| < \delta + |a_n| $$

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Para terminar aquí mi respuesta, dejaré mi opinión... este tipo de ejercicios, aunque fácilmente generalizables, son algo que todo alumno debería hacer al menos una vez en su vida, para acostumbrarse a este tipo de manipulación de desigualdades. Creo que esta pregunta debería haber recibido más atención, y si encuentro/recuerdo otros límites que me sienta lo suficientemente cómodo para explicar, quizás vuelva y actualice esta respuesta.

Salud.