Encontrar función $f :\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ cumplir:

Question

Encontrar función $f :\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ satisfacer que: $$f(1)=1$ $ $$f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy$ $ $$f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{f(x)}{x^4} \hspace{5pt}\forall x \neq 0$ $

Answer 1

Indirecta: $$(x+y)^2=x^2+y^2+2xy{}$ $

Answer 2

Hago aquí: que $g(x)=f(x)-x^2$, en aquel momento: $$g(x+y)=g(x)+g(y)$ $ $$g(1)=g(0)=0$ $ $$g(\frac{1}{x})=\frac{g(x)}{x^{4}}$ $

Probé $g(x)\equiv 0$ $ x \in \mathbb{Q}$ pero demostrando $g(x) \equiv 0$ $x \in \mathbb{R}$ es problema para mí, usted me puede ayudar más