Permutación del grupo de Galois de raíces

Question

Cuando se considera el grupo de Galois del campo división del polinomio $x^3-2$, se menciona en mis notas que $\sqrt[3]{2}$ puede asignarse al $\sqrt[3]{2}$, $\sqrt[3]{2}\omega$ o $\sqrt[3]{2}\omega^2$, $\omega$ Dónde está la raíz cúbica de la unidad. debe asignarse $\omega$ $\omega$ o $\omega^2$.

Mi pregunta es ¿por qué es esto así? Lo siento por la pregunta de principiante, pero ¿por qué no se puede asignar $\sqrt[3]{2}$ $\omega$ o $\omega$ asignarse al decir: 1?

Muchas gracias por la ayuda.

Answer 1

En primer lugar recordar la definición de un automorphism de un campo de $F$. Un mapa de $\sigma: F \rightarrow F$ es un automorphism si es un bijective homomorphism que es $\sigma(0)=0, \;\sigma(1)=1$ cualquier $a,b \in F$ tenemos $\sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b)$$\sigma(a+b)=\sigma(a)+\sigma(b)$. En particular, en su ejemplo, $\omega$ no se puede asignar a $1$ porque $\omega \neq 1$.

En el contexto general tenemos el siguiente resultado deje $L/K$ ser una expresión algebraica de la extensión y de $\sigma$ $K$- automorphism de $L$. Por $K$-automorphism me refiero a que para cualquier $\alpha \in K$ tenemos $\sigma(\alpha)=\alpha$ $\sigma$ corrige $K$. Si $x \in L$ $\sigma(x)$ $K$- conjugado de $x$, $\sigma(x)$ es una raíz del polinomio mínimo de a$x$$K$. Deje $p(t)=min_K(x,t)$ que es el polinomio mínimo de a$x$, entonces tenemos que

$$0=\sigma(p(x))=\sigma\left(\sum_{i=0}^n p_ix^i\right)=\sum_{i=0}^n \sigma(p_i)\sigma(x)^i=\sum_{i=0}^np_i\sigma(x)^i=p(\sigma(x)).$$ Por lo $\sigma(x)$ también es una raíz de $p(t)$.

En el contexto de su pregunta $\sqrt[3]{2}$ no puedo asignar a $\omega$ debido a su mínimo de los polinomios de más de $\mathbb Q$ son diferentes.