Mostrando $x^{5}-ax-1\in\mathbb{Z}[x]$ es irreducible

Question

Este es un ejercicio del libro álgebra abstracta Dummit y Foote (pág. 519): es irreducible $x^{5}-ax-1\in\mathbb{Z}[x]$ $a\neq-1,0,2$

Necesito ayuda con este ejercicio, no tengo una idea sobre cómo probar que no existen factores cuadráticos $a\neq-1,0,2$ (para $a=-1$ allí es un factor cuadrático).

Answer 1

Deje $P=X^5-aX-1$. Si $P$ tenía una raíz racional $\frac{p}{q}$ $p$ $q$ coprime, podríamos deducir $p^5-apq^4-q^5=0$. A continuación, $p$ divide $p^5-apq^4$, podemos ver que $p$ divide $q^5$. Por la iteración de Gauss lema, $p$ divide $q^4,q^3,q^2$ etc y, finalmente, $p$ divide $1$, lo $p=\pm 1$. Del mismo modo $q$ divide $p^5$$q=\pm 1$. Así que las únicas raíces racionales posibles son $-1$ (correspondiente a $a=2$) y $1$ (correspondiente a $a=0$). Por lo $P$ no tiene ningún grado de $1$ factores.

Así que todos hemos dejado de demostrar es que no hay un factor de grado $2$. Así que supongamos $P=UV$,$U,V \in {\mathbb Z}[X]$${\sf deg}(U)=3, {\sf deg}(V)=2$. Desde $P$ es unitaria, $U$ $V$ son unitarias también (que reemplazarlos por sus opuestos si es necesario).

Escribir $U=X^3+u_2X^2+u_1X+u_0$$V=X^2+v_1X+v_0$. A continuación,

$$ P=UV=X^5+(u_2+v_1)X^4+(u_2v_1+u_1+v_0)X^3+(u_2v_0+u_1v_1+u_0)X^2+(u_1v_0+u_0v_1)X+u_0v_0 $$ La identificación de los coeficientes en $X^4,X^3,X^2$, expresamos $u_0,u_1,u_2$ en términos de los otros coeficientes : $$ u_2=-v_1,u_1=v_1^2-v_0,u_0=2v_0v_1-v_1^3 $$ A continuación, el producto $UV$ se convierte en $$ UV=X^5-(v_1^4-3v_0v_1^2+v_0^2)X+(2v_0^2v_1-v_0v_1^3) $$ El coeficiente constante puede ser factorizados como $v_0v_1(2v_0-v_1^2)$. Por lo $v_0,v_1$ $2v_0-v_1^2$ deben ser iguales a $1$ o $-1$. Así que, necesariamente,$v_0=1,v_1=-1$, y por lo tanto $U=X^3+X^2-1,V=X^2-X+1,a=-1$.

Answer 2

Este ejercicio se corrige aquí (ejemplo [8]): http://mathbyjames.files.wordpress.com/2011/06/ch13sec1part2.pdf