Quiero evaluar la integral $$\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{1}{1 - 2r \cos \theta + r^2} d\theta. $$ I thought first to substitute $\cos(\theta)$ for $\frac{1}{2} e^{i\theta} + e^{-i\theta} ) $, reducing the problem to a complex integral over the unit circle, then using the $ z = re^{i\theta}$ to change the polar coordinate of $d\theta$ to $dz$. However, I am stuck with the r in the term when I try to change coordinates using $dz = ire^{i\theta} d\theta$. Básicamente quiero ser capaz de integrar más de $dz$ en lugar de $d\theta$ pero por alguna razón me estoy dando cuenta que es difícil para transformar los planos de coordenadas, debido a la persistente polar términos cuando intento hacer la transformación. ¿Hay algún método genérico que puedo utilizar generalmente cuando me enfrento con el problema de hacer los cambios de coordenadas?
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Sugerencia: Esto está relacionado con el Núcleo de Poisson.
Solución completa: asumo $0<r<1$. Observe que
$$ \frac{1-r^2}{1-2r\cos\theta +r^2} = \operatorname{Re}\left(\frac{1+re^{i\theta}}{1-re^{i\theta}}\right)$ $ , de modo que
$$\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{1}{1 - 2r \cos \theta + r^2} d\theta=\frac{1}{2\pi(1-r^2)} \operatorname{Re}\left(\int_0^{2\pi} \left(\frac{1+re^{i\theta}}{1-re^{i\theta}}\right)d\theta\right).$$ Making the change of variables $z=re^{i\theta}$, $dz=ire^{i\theta}d\theta$ esto se convierte en
$$\frac{1}{1-r^2}\operatorname{Re}\left(\frac{1}{2\pi i}\int_{C_r}\frac{1+z}{z(1-z)}dz\right)=\frac{1}{1-r^2}$$ where the last equality comes from evaluating the residue at $0$.
Nota: Si $r>1$ la misma solución funciona, pero vamos a recoger un residuo en $z=1$ $-2$ y en lugar de obtener $$\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{1}{1 - 2r \cos \theta + r^2} d\theta=\frac{1}{r^2-1}$$ como la respuesta final.
Espero que ayude,
La idea de transformar todo como una integral de una función de la variable compleja sobre el círculo unidad $C$ es buena. Como usted escribió, esto significa que usted desee utilizar $z=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$, $\mathrm{d}z=\mathrm{i}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\mathrm{d}\theta=\mathrm{i}z\mathrm{d}\theta$, y $2\cos\theta=z+1/z$. Su integral se convierte en $$ \frac1{2\pi\mathrm{i}}\int_Cf(z)\mathrm{d}z, $$ con $$ f(z)=\frac1{z(1+r^2-r(z+1/z))}=\frac1{z(1+r^2)-rz^2-r}=\frac1{(r-z)(rz-1)}. $$ El resto es una cuestión de los residuos de cálculo: usted va a querer saber los polos de $f$ dentro del círculo de $C$ por lo tanto, si $r<1$ o $r>1$ le importa (en el caso de $r=1$ ser excluidos debido a la integral, entonces diverge) y, sorpresa, el resultado va a implicar un valor absoluto signo.
He aquí una manera de que uno puede ser "guiado por la nariz" para la correcta contorno integral.. Buscando en el denominador $r^2 - 2r\cos\theta + 1$ como una función de la $r$, usted puede usar la fórmula cuadrática para obtener las raíces, dada por $$r = \cos(\theta) \pm {1 \over 2}\sqrt{4\cos^2(\theta) - 4}$$ $$= \cos(\theta) \pm {1 \over 2}\sqrt{-4\sin^2(\theta)}$$ $$ = \cos(\theta) \pm i \sin(\theta)$$ $$ = e^{i\theta}, e^{-i\theta}$$ Así que su integral es el mismo $${1 \over 2\pi} \int_0^{2\pi} {d\theta \over (r - e^{i\theta})(r - e^{-i\theta})}$$ Esto sugiere hacer un contorno integral sobre el círculo unidad, con $z = e^{i\theta}$, ${1 \over z} = e^{-i\theta}$, e $dz = ie^{i\theta}d\theta$, por lo que el $d\theta = {dz \over iz}$. El resultado integral de contorno es $${1 \over 2\pi i} \int_{|z| = 1}{dz \over z(r - z)(r - {1 \over z})}$$ $$= {1 \over 2\pi i} \int_{|z| = 1}{dz \over (r - z)(rz - 1)}$$ Nota: este es el mismo contorno integral Didier Piau tiene, y como lo ha indicado se trata de un bonito rutina de la aplicación del teorema de los residuos.
