Convergencia de controlador PID

Question

Es allí cualquier material en cualquier lugar de convergencia de los controladores PID? Es decir, si se formaliza el "proceso de la planta" en cierta manera, como $y_{t+1} = f(x_t,y_t)$ (en otras palabras, el valor de proceso en un momento dado depende de la anterior valor de proceso y controlada valor), existen condiciones en las $f$ que determinar si existen PID coeficientes que convergen, o en lo que los coeficientes deben ser?

Estuve experimentando con la simulación de controladores PID y se encontró que parecía muy difícil conseguir un controlador de converger para $f(x_t, y_t) = x_t^2$, y tuve la curiosidad de saber si la falta de dependencia en el valor anterior ($y_t$) hizo la convergencia difícil.

Answer 1

En el caso lineal de un PID en lazo cerrado es asintóticamente estable (es decir, converge para $t \rightarrow \infty$) iff de los valores reales de todos los autovalores de la de bucle cerrado dinámica de la matriz son menores que 0.

Explícitamente hablando, en el single-input single-output caso de tener que calcular los autovalores de $$ \left[ \begin{array}{ccc} A-(k_P+\frac{k_D}{T_f})\mathbf{b}\mathbf{c^T} & -k_I \mathbf{b} & -\frac{k_D}{T_f^2}\mathbf{b} \\ \mathbf{c}^T & 0 & 0 \\ \mathbf{c}^T & 0 & -\frac{1}{T_f} \end{array} \right], $$ donde $A$ es su (autónoma) sistema de matriz, $\mathbf{b}$ es el vector de entrada, $\mathbf{c}^T$ el vector de salida y $k_P, k_I, k_D, T_f$ los respectivos parámetros del controlador.

En el caso no lineal que usted está tratando con usted puede intentar una linealización de rutina en las inmediaciones de un stationairy punto y aplicar la condición dada anteriormente. Alternativamente, se podría buscar una función de Lyapunov tal que la energía del sistema converge. Estos conceptos requieren generalmente el sistema autónomo para ser asintóticamente estable, sin embargo, el apoyo a su hipótesis de que $f$ ser independiente de los anteriores, hace un análisis de estabilidad difícil.

En caso de que quiera darle una oportunidad, aquí el estado es el espacio de la representación del controlador PID: $$ \Sigma_{PID} \left\{ \begin{align} & \dot{\mathbf{x}} = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{T_f} \end{array} \right] \mathbf{x} + \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right]e \ \ \ & u = \left[ k_I, -\frac{k_D}{T_f^2} \right] \mathbf{x} + \left( k_P + \frac{k_D}{T_f} \right)e \end{align} \right., \qquad \mathbf{x}(0) = \mathbf{x}_0, $$ donde $e$ es el control de error, $u$ es el control de entrada y $\mathbf{x}$ son los estados del controlador de subsistema.

Tenga en cuenta que un evidente rasgo de su sistema es que usted no será capaz de estabilizar por los estados $y_0 > y_c$ donde $y_c$ es donde usted desea tener.

Buenas lecturas son:
Hassan K. Khalil - Sistemas No Lineales
Alberto Isidori - Control No Lineal De Sistemas
Steven H. Strogartz - de la Dinámica no Lineal y Caos

Answer 2

La costumbre requisito previo para el uso de controladores PID es que la planta debe ser estable en el primer lugar. La planta en su ejemplo es marginalmente estable, por lo que usted puede ser que desee considerar la estabilización de la planta (utilizando polo-colocación etc.) de antemano.

En segundo lugar, la selección de los coeficientes de controladores PID se realiza basa principalmente en métodos heurísticos como tal la Ziegler-Nichols método. El libro de Control Moderna Ingeniería por Ogata, tiene un capítulo entero dedicado a la introducción y discusión de estos métodos.

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Tenga en cuenta que los métodos presentados asumir una planta que puede ser adecuadamente modelados por no homogéneas ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de la forma \begin{equation} \sum_{i = 0}^{n} a_{i}(t)\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}^{i}{y}}{\mathop{}\!\mathrm{d}{t}^{i}} = x(t). \end{equation} Su ejemplo parece sugerir que se trata de un lineal de la diferencia de la ecuación. Así, usted puede ser que desee considerar un enfoque de dos pasos, es decir, el diseño de un controlador PID analógico utilizando los métodos presentados, y luego digitalizarlo.

Además, la entrada en su ejemplo, el cuadrado de $x_t^2$. Cuando se combina con un controlador PID, podría resultar en un sistema de ciclo cerrado que es altamente no lineal en $y_t$, por lo que su kilometraje puede variar.