Mostrando el flujo de Ricci 3D Oda conserva el orden de los autovalores del tensor de curvatura

Question

El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias surge cuando el estudio de flujo de Ricci en 3-variedades: $$ \frac{dm_1}{dt} = m_1^2+m_2m_3 \\ \frac{dm_2}{dt} = m_2^2+m_1m_3 \\ \frac{dm_3}{dt} = m_3^2+m_1m_2 \\ $$

Volver a través de Hamilton 1986 papel me di cuenta de que no entendía el primer paso de su razonamiento:

Tenga en cuenta que $$\frac{d}{dt}(m_2 - m_1) = (m_2-m_1)(m_2+m_1-m_3)$$ so that if $m_1 \le m_2$ para iniciar se queda así.

El único extra contexto requiere es que el $m_2 \le m_3$ en el momento inicial. ¿Cómo podemos llegar a esta conclusión? No es tan simple como $m_2 - m_1$ ser no decreciente; la elección de un gran valor para $m_3$ deja esto en claro. Al principio pensé que reescribir como $$\frac{d}{dt}\log(m_2-m_1) = m_2 + m_1 - m_3$$ pero en esta etapa del análisis no veo razón por la $\int (m_2 + m_1 - m_3) dt$ no debe volar a $-\infty$; de hecho, hemos voladura en tiempo finito para el "similares" de la ecuación de $\frac{df}{dt}=f^2$.

Tengo la sensación de que me estoy perdiendo algo muy fácil y en breve estará muy avergonzado, pero ha sido insignificantes en mí.

Answer 1

Y después de pensar un rato me doy cuenta de que la fórmula señaló anteriormente: $$\log(m_2(t) - m_1(t)) = \log(m_2(0)-m_1(0)) + \int_0^t (m_2 + m_1 - m_3)$ $ es esencialmente todo lo que necesito.

Si $T<\infty$ es la primera vez tal que $m_2(T) = m_1(T)$, entonces el $\log(m_2-m_1)$ está bien definido en $[0,T)$ y converge a $-\infty$ $t\nearrow T$. Esto implica $\liminf_{t\nearrow T} (m_2 + m_1 - m_3) = -\infty$ y así al menos uno de lo $m_i$ tiene una discontinuidad en $T$. Así $m_2 \ge m_1$ tan largo como la solución existe.

Es decir, puede ocurrir un estallido en tiempo finito, pero realmente no me importa! Cordura comprueba bienvenida.