% Polinomio encontrar $f(x)$basado en las propiedades de la divisibilidad de $f(x)+1$ y $f(x) - 1$

Question

$f(x)$ es un polinomio de quinto grado. Es que es divisible por $f(x)+1$ $(x-1)^3$ y $f(x)-1$ es divisible por $(x+1)^3$. Encontrar $f(x)$.

Answer 1

Consejo: Utilice el hecho de que $f^{\prime}(x)$ es divisible por $(x-1)^2$ y $(x+1)^2$.

Answer 2

Podemos ver claramente que: $f(1)+1=0$ y $f(-1)-1=0$

Podemos escribir $f(x)-1=p(x)(x+1)^3$ y $f(x)+1=q(x)(x-1)^3$

Por la diferenciación y la doble diferenciación, se puede ver

$f'(1)=0$ y $f''(1)=0$

Y

$f'(-1)=0$ y $f''(-1)=0$

Tienes seis condiciones y seis incógnitas.

[asumir $f(x) = x^6+a_1x^5+a_2x^4+a_3x^3+a_4x^2+a_5x+a_6$]

Answer 3

Si $(x-1)^3$ divide $f(x)+1$, $(x-1)^2$ divide $f'(x)$.

Si $(x+1)^3$ divide $f(x)-1$, $(x+1)^2$ divide $f'(x)$.

Como deg$\,f=5$, entonces deg$\,f'=4$, y, por tanto,$f'(x)=a(x-1)^2(x+1)^2=a(x^4-2x^2+1)$, para algunos $a\in\mathbb R$.

Así $$ f(x)=\frac{a}{5}x^5-\frac{2a}{3}x^3+ax+b, $$ para algunos $b\in\mathbb R$. Ahora, como $(x-1)^3$ divide $g(x)=f(x)+1$, en particular,$f(1)+1=g(1)=0$. Así $$ -1=f(1)=\frac{a}{5}-\frac{2a}{3}+a+b. \etiqueta{1} $$ Del mismo modo, como $(x+1)^3$ divide $h(x)=f(x)-1$, en particular,$f(-1)-1=g(-1)=0$. Así $$ 1=f(-1)=-\frac{a}{5}+\frac{2a}{3}-a+b. \etiqueta{2} $$ La adición de $(1)$ $(2)$ obtenemos que $b=0$, y por lo tanto $a=-15/8$.

Por lo tanto $$ f(x)=-\frac{3}{8}x^5+\frac{5}{4}x^3-\frac{15}{8}x. $$

Answer 4

Cuenta que divide a $(x-1)^3$ $f(x)+1$ $f(-x)-1$, que $(x-1)^3$ divide la suma de $f(x)+f(-x)$.

Del mismo modo, podemos observar que $(x+1)^3$ divide $f(x)+f(-x)$.

Por lo tanto, divide a $(x+1)^3(x-1)^3$ $f(x)+f(-x)$, que tiene grado más $5$.

Esto implica que el $f(x)$ es una función impar.

Tenemos $f(x)+1=(x-1)^3(ax^2+bx-1)$, (nota que $f(0)$ deben ser $0$) y comparando el grado $2$ y $4$ coeficientes (que deben ser $0$), $a=-\frac{3}{8}$ y $b=-\frac{9}{8}$, que nos da la respuesta de $$f(x)=-\frac{3}{8}x^5+\frac{5}{4}x^3-\frac{15}{8}x$ $

Answer 5

Otra solución ad hoc es la siguiente: $$ 32 = \Big((x+1)-(x-1)\Big)^5 \\ = (x+1)^5 -5(x+1)^4(x-1) +10(x+1)^3(x-1)^2 \qquad \\ \qquad -10(x+1)^2(x-1)^3 +5(x+1)(x-1)^4 -(x-1)^5 \\ = (x+1)^3\Big((x+1)^2 a la 5(x+1)(x-1)+10(x-1)^2\) \qquad \\ \qquad -(x-1)^3\Big(10(x+1)^2 a la 5(x+1)(x-1)+(x-1)^2\Big) $$ así $$ f(x) = -\frac1{16} (x+1)^3\Big((x+1)^2 a la 5(x+1)(x-1)+10(x-1)^2\Big) +1 = -\frac1{16} (x-1)^3\Big(10(x+1)^2 a la 5(x+1)(x-1)+(x-1)^2\Big) -1 $$ es $a$ solución.

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Para resolver el problema general, podemos repetir la prueba usual de el Teorema del Resto Chino. Para resolver el sistema $$ f(x) \equiv r_1(x) \pmod{m_1(x)} \\ f(x) \equiv r_2(x) \pmod{m_2(x)} $$ donde $m_1$ $m_2$ co-prime, utilizando el algoritmo de Euclides nos construcción de algunos polinomios $p(x)$ $q(x)$ tal que $$ p(x)\cdot m_1(x) + q(x)\cdot m_2(x) = 1. $$ Entonces la solución será $$ f = (q \cdot m_2 \cdot r_1 + p \cdot m_1 \cdot r_2) \mod m_1m_2. $$