$N$ es un número natural. ¿Existe algún $k$ y algunos números naturales $N<n_1<n_2<\cdots<n_k$ tal que $$\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}+\cdots+\frac{1}{n_k}=1$$ ?
Respuestas
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Puedes empezar desde: $$ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1 \tag{1}$$ y utilizar la identidad: $$ \frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)} \tag{2}$$ para aumentar el número de términos en el LHS de $(1)$ . Citando a Wikipedia cualquier fracción $\frac{x}{y}$ tiene una representación de fracción egipcia en la que el denominador máximo está acotado por $O\left(\frac{y\log^2 y}{\log\log y}\right)$ y una representación con un máximo de $O(\sqrt{\log y})$ términos.
Otro posible enfoque es el siguiente: $$ \frac{1}{N}\prod_{k=N}^{N^2-1}\left(1+\frac{1}{k}\right)=1,\tag{3}$$ y si expandimos el LHS de $(3)$ obtenemos una suma de fracciones egipcias con denominador $\geq N$ .
Sólo tenemos que eliminar los duplicados: para esta tarea, podemos utilizar $(2)$ .
ctoi
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Jack D'Aurizio me ha dado una solución más limpia, pero la publicaré de todos modos. Utilizaremos el resultado que,
Para cualquier racional $q \in \Bbb Q,$ existe un número finito de $n_1 < n_2 < \dots <n_k$ tal que, $$ \sum_{i=1}^k \frac1{n_i} = q $$
Hay muchos algoritmos conocidos para construir tal expansión, pero en particular hay uno simple y codicioso que añade continuamente la mayor fracción unitaria posible tal que la suma no exceda $q.$ Esto se describe en esta página .
Pues entonces deja, $$ q = \sum_{n=1}^N \frac1n + 1 $$ Lo que dará $n_1 < n_2 < \dots < n_k$ s.t. $$ \sum_{n=1}^N \frac1n + 1 = \sum_{n=1}^N \frac1n + \sum_{i=1}^k \frac1{n_i} $$ Lo que da el resultado deseado.
