¿Irreductibilidad de polinomios de la forma $x^p - n$ sobre el ciclotómicas campo $Q(\zeta_p)$?

Question

Existe un procedimiento general para demostrar que el polinomio $x^p - n$ es irreducible sobre la cyclotomic campo $Q(\zeta_p)$? ($\zeta_p$ una primitiva de pth raíz de la unidad, y $n \in \mathbb{N}$. Quizás $n$ también puede ser primo.)

Me he topado con algunos ejercicios de hoy donde esta técnica podría ser útil.

En particular, el complicado caso es que parece ser al $p > 3$. (De lo contrario se nos garantiza una raíz en $Q[\zeta_p]$ si $x^p - n$ no es irreducible, desde la que podemos obtener todas las raíces, por lo que el polinomio se divide. Pero, a continuación, comparar los grados que muestra que esto es imposible, ya que ahora $Q[\sqrt[p][n]]$ (grado $p$) incrusta en $Q[\zeta_p]$ (grado $p - 1$).)

Edit: La respuesta más breve que he presentado a continuación parece ser la correcta.

Answer 1

(Mi otra respuesta es innecesariamente complicado y por lo tanto, probablemente mal, pero voy a dejar de seguir existiendo como un recordatorio para mí mismo de otras técnicas útiles - en particular, de Gauss, lema, y el criterio de Eisenstein, junto con un bien elegido automorphism.)

El siguiente es fácil de demostrar: si $F | L$ $E | L$ tienen relativamente primos grados $n$$m$, $FE | Q$ tiene el grado $nm$. (Corolario 22 en Dummit y Foote, el capítulo sobre la teoría del campo.)

Podemos aplicar esto para el problema planteado de la siguiente manera:

$Q(\zeta_p, \sqrt[p]{n})$ tiene como subcampos $Q(\zeta_p)$$Q(\sqrt[p]{n})$. El primero tiene grado $p-1$ y el segundo grado $p$. Por lo tanto, $Q(\zeta_p, \sqrt[p]{n})$ tiene el grado $p(p-1)$. Considerando $Q(\zeta_p, \sqrt[p]{n})$ como una extensión de $Q(\zeta_p)$, vemos que el polinomio mínimo de a $\sqrt[p]{n}$ tiene el grado $p$, y por lo tanto coincide con $x^p - n$. Por lo tanto, $x^p - n$ es irreducible sobre $Q(\zeta_p)$.

De hecho, esto demuestra que $x^q - n$ es irreducible sobre $Q[\zeta_p]$ al $p - 1$ $q$ son relativamente primos.

Answer 2

Esta respuesta es complicada y probablemente equivocada. La otra respuesta que he presentado hace sentido.

Puse una solución parcial que (tal vez) sólo funciona en el caso de al $Z[\zeta_p]$ es un UFD y el exponente de $x$ una potencia de un primo en $Z[\zeta_p]$. Le agradecería que si alguien puede revisar mi trabajo, ya que sólo vagamente saber cosas acerca de la teoría algebraica de números.

Nueva pregunta: Cuando es $(q)$ un alojamiento ideal en $Z[\zeta_p]$?

Proposición: Para $p$ un primer fin de que $Z[\zeta_p]$ es un UFD, y un $q$ un primer fin de que $(q)$ es el primer en $Z[\zeta_p]$, luego se le da $e, m \in \mathbb{N}$, $m$ sujeto a la restricción implícita por el lema de abajo, el polinomio $x^{q^e} + m$ es irreducible en a $Q[\zeta_p]$.

Prueba(?): Para la factorización en el campo de fracciones de $K$ es equivalente a la factorización en el anillo de enteros $R$ (de Gauss Lema) cuando el polinomio es primitivo en $R$, podemos reducir esto a irreductibilidad en $Z[\zeta_p]$. Desde $x \to x+ n $ es un automorphism de $Z[\zeta_p][X]$, $x^{q^e} + m$ irreductible es equivalente a $(x+n)^{q^e} + m$ irreductible. Estamos ampliando el último polinomio, y ver que podemos aplicar el criterio de Eisenstein si podemos elegir $n$, de modo que $q | n^{q^e} + m$ pero $q^2 \not | n^{q^e} + m$. (Para $q^e$ elija $k$ es divisible por $q$$k = 1, \ldots q^e - 1$.) Por lo tanto, $x^{q^e} + m$ es irreducible sobre $Q[\zeta_p]$.

Así que solo tenemos que mostrar que siempre se puede encontrar $n$ haciendo de este requisito en $n + m$ cierto.

Lema: Vamos a $q^e$ ser fijo. Dado un $m \in \mathbb{N}$ (sujeto a algunas restricciones?) y $p$ prime, hay un $n \in \mathbb{N}$, de modo que $p | n^{q^e} + m$ pero $p^2 \not | n^{q^e} + m$.

Pregunta: ¿Cómo esta restringir $m$?

(Ya que el número de clase de $Z[\zeta_p]$ 1 $p < 23$, esto cubre muchos de los casos que se presentan en la práctica, es decir, en los problemas de la tarea.)