Integrales de Funciones Infinitamente Iteradas

Question

Como curiosidad, estaba mirando funciones como $y = x^{x^{x^{.^{.^{.}}}}}$ y encontrando sus derivadas. Me di cuenta de que esto es bastante fácil. Para este problema, podemos escribir $y = x^y$ y usar diferenciación implícita, y básicamente el mismo concepto se puede usar para cualquier función iterada infinitamente como esta. Luego intenté integrar una de estas y me resultó mucho más difícil. ¿Se sabe algo sobre $\int x^{x^{x^{.^{.^{.}}}}}dx$ u otras funciones que involucren algún tipo de iteración infinita? (como $\sqrt{x + \sqrt{x + ...}}$)?

Answer 1

Sospecharía que puedes mostrar esto de manera más rigurosa, pero aquí hay una forma de pensar al respecto:

En cálculo, encontrar derivadas de funciones con respecto a su(s) argumento(s), es mucho más fácil que calcular su integral indefinida. $\int x^xdx$ no puede expresarse en términos de las funciones elementales habituales/normal que a menudo usamos. Por lo tanto, generalmente es suficiente tomar un enfoque más numérico, aproximando su valor en algún límite definido, generando error. Considerando la función $f(x)=x$ elevada a su argumento infinitas veces, nuevamente, de manera análoga a $x^x$, notamos que su integral no produce una expresión en forma cerrada, y de hecho es indefinida.

Como nota, existen varias integrales indefinidas de funciones que no producen expresiones en términos de las funciones elementales básicas de las matemáticas. Como ejemplo, consideremos $\int \frac {sin(x)}{x}$dx. Resulta que esta integral no tiene una representación matemática en forma cerrada, pero podemos calcular su integral definida en algunos intervalos.

Answer 2

De hecho, hay formas cerradas de tales integrales. A través de la respuesta del usuario omegadot a la pregunta "Apariciones inesperadas de $\pi^{2}/6$", encontramos:

$$I_{1} := \int_{0}^{1} (x^{-x})^{(x^{-x})^{(x^{-x}) \dots }} dx = \frac{\pi^{2}}{6} .$$

También podemos expresar esta integral a través de la función Lambert W - ver por ejemplo el lema 3.3 de este documento de Galidakis. Como $$f(x):=x^{x^{x^{x^{x^{\dots}} }}} = {^{\infty}x} = - \frac{W_{0}(-\log(x))}{\log(x)} , $$ obtenemos $$ I_{1} = \int_{0}^{1}- \frac{W_{0}(-\log(x^{-x}))}{\log(x^{-x})} dx = \frac{\pi^{2}}{6}.$$

Otras integrales que involucran la función Lambert W - que pueden ser reformuladas en términos de torres de potencia infinitas a través de las definiciones anteriores - también pueden obtenerse.

Por ejemplo, en la página 28 del siguiente documento de Gautschi, encontramos $$I_{2} := \int_{1}^{\infty} [-W_{0}(-xe^{-x})]^{\alpha} x^{-\alpha} dx = \alpha \psi_{1}(\alpha) -1, $$ donde $\psi_{1}(\cdot) $ es la función trigamma y $\alpha>1$. Algo similar se cumple para otra rama de la función Lambert W: $$I_{3} := \int_{0}^{1} [-W_{-1}(-xe^{-x})]^{\alpha} x^{-\alpha} dx = \alpha \psi_{1}(1-\alpha)+ 1,$$ donde en este caso $|\alpha|<1$.

Otras integrales que involucran la función Tree T - que está relacionada con la función Lambert W - se pueden encontrar en el siguiente documento de Corless, Hu y Jeffrey.